Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гукенхеймер Дж. -> "Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей" -> 38

Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей - Гукенхеймер Дж.

Гукенхеймер Дж., Холмс Ф. Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей — М.: Институт компьютерных исследований, 2002. — 560 c.
ISBN 5-93972-200-8
Скачать (прямая ссылка): nelineyniekolebaniya2002.djvu
Предыдущая << 1 .. 32 33 34 35 36 37 < 38 > 39 40 41 42 43 44 .. 199 >> Следующая

точки могут исчезать парами в бифуркациях седло-узел, которые мы не будем
здесь рассматривать. Начиная с этого момента, опустим индекс j3 и будем
писать просто /.
Вместо того чтобы попытаться детально исследовать данное отображение
аналитически, мы будем изучать его численно. Вначале покажем, что / имеет
бесконечно много неустойчивых неподвижных точек в интервале [61,62].
Обозначим интервалы [0,6*т], [6\, |], [|,02], [62,1] как I0, h, 12, /з,
тогда из рис. 2.1.5(b) видно, что
Основываясь на этих соотношениях, мы можем выписать матрицу перехода
где сHj = 1, если /(If) 2) Д. Из формул (2.1.19)-(2.1.20) можно найти
такие орбиты, которые движутся из I, в I,: для них а= 1. Заметим, что
данное равенство не необходимо: например, аоо = азз = 0, однако в
множествах Iq и /3 существуют (устойчивые) неподвижные точки.
Следовательно, поскольку aij = 1 для г, j = 1, 2, то существуют орбиты,
посещающие Ii и12в любом предписанном порядке. Мы будем представлять
такую орбиту {xk}kLo бесконечной последовательностью из единиц и двоек
{а/с}^0
- a2t\
ростью е ), поэтому представляется разумным заменить "редуциро-
ние fp: S1 1 - S1, определенное на некоторой окружности (этот процесс
/№) э h, f(h)D hUl2Uh, f(h) Э /о U h U /2, №) э h.
(2.1.19)
"0 10 0"
0 111 1110 0 0 10
(2.1.20)
2.1. Уравнение Ван дер Поля
109
такой, что
ще = 1, если fk(x0) ? h, ак = 2, если fk(x0) S /2-
(2.1.21)
Такое представление орбит отображений или дифференциальных уравнений в
виде символьной последовательности называют символической динамикой. Мы
рассмотрим его подробно в главе 5, где будет показано, что при некоторых
условиях существует гомеоморфизм между отображением / и оператором сдвига
(¦v{ak})j =aj+1,
определенный на пространстве символьных последовательностей формулой
Данный факт позволяет свести анализ динамики отображения / к рассмотрению
всевозможных допустимых последовательностей. В обсуждаемом случае путем
расширения / на интервал I \ U Ц можно установить, что каждая бесконечная
последовательность {<2fc})^L0 соответствует единственной орбите {xkjt^Q
отображения /, и обратно.
Поскольку каждой периодической символьной последовательности
соответствует ровно одна периодическая орбита отображения /, несложно
пронумеровать эти орбиты. Начало этой нумерации представлено в таблице
2.1.1. Чтобы увидеть, что любая такая орбита, скажем, периода к,
В к-
неустойчива, рассмотрим производную т^(/ (р)) к-й степени отображения / в
произвольной точке р этой орбиты. Повторно применяя теорему о производной
сложной функции, имеем
единицы. Следовательно, данная орбита является репеллером.
Конечно, многие точки из /j U 12 = [в\, #2] в конечном итоге отображаются
вовне этого интервала в 10 или в /3. Хотя они могут впоследствии вновь
войти в Ii U /2, большинство таких точек сходятся в итоге к одной из
устойчивых неподвижных точек в Iq или в /3. В действительности,
инвариантное множество Л точек, остающихся в IiU I2, имеет нулевую меру,
хотя оно и содержит счетное множество периодических орбит и несчетное
множество непериодических орбит, отвечающих непериодическим
последовательностям {а/с}дХо- Даже несмотря на то, что большинство орбит
не
а{а0, al7a2, . . . } = {<21, а2, а3, . . . }.
(2.1.22)
и, поскольку тг- > 1 для в ? [0\, в2], это произведение необходимо больше
ВО
110
Глава 2
Таблица 2.1.1. Нестабильные периодические орбиты для / в [9i, 62] = Ii U
/2.
Период Число орбит Символьная последовательность
1 2 111111...; 22222...
2 1 121212...
3 2 112112112...; 122122122...
4 3 11121112...; 11221122...; 12221222...
5 6 11112...; 11122...; 11222...;
12222...; 12121...; 21212...
стремятся асимптотически к Л, данное множество, тем не менее, оказывает
заметное влияние на наблюдаемую динамику отображения /, как демонстрируют
приводимые ниже численные расчеты.
Для простоты выберем кусочно-линейное отображение

Г (2-х)
4 '
10а; - 4,
10х - 5,
(3-х)
X ? X ? X ?
X ?
0, 18 ' 41 18 1 41' 2 1 23 2' 41
23 1 41'
(2.1.23)
определенное на интервале I = [0,1] (mod 1) (см. рис. 2.1.6). Читатель
может без труда проверить, что это отображение непрерывно и имеет стоки в
точках х = |, х = | и источники в точках х = ^ и х = ^. Недифференци-
1 О ОО
руемость данного отображения в точках поворота х = ^, -jy не важна для
наших целей в этом примере.
На рисунке 2.1.7 показаны некоторые типичные орбиты fk(xi) для точек Xi ?
I. Ясно, что орбита, стартующая достаточно близко к любому стоку, просто
сходится к нему (рис. 2.1.7(а,Ь)). Однако орбиты, начинаю-
"18 231
щиеся в центральной области 42, yyj или попадающие в нее, ведут себя
менее правильно, и, в то время как почти все такие орбиты сходятся к тому
или иному стоку, наличие в I\ U 1% неустойчивого инвариантного множества
проявляет себя в чувствительной зависимости от начальных условий. На рис.
2.1,7(с)-(е) показаны орбиты, начинающиеся близко друг к другу и
сходящиеся к разным стокам после переходного процесса вблизи неустойчивой
Предыдущая << 1 .. 32 33 34 35 36 37 < 38 > 39 40 41 42 43 44 .. 199 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed