Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гукенхеймер Дж. -> "Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей" -> 37

Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей - Гукенхеймер Дж.

Гукенхеймер Дж., Холмс Ф. Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей — М.: Институт компьютерных исследований, 2002. — 560 c.
ISBN 5-93972-200-8
Скачать (прямая ссылка): nelineyniekolebaniya2002.djvu
Предыдущая << 1 .. 31 32 33 34 35 36 < 37 > 38 39 40 41 42 43 .. 199 >> Следующая

кольцевую "область захвата" R С М2 такую, что (периодическое по времени)
векторное поле (2.1.15) всегда направлено внутрь R. Если взять сечение ?
= {(x,y,t) \t = 0}, то отображение Пуанкаре для (2.1.15) Рр отображает R
в себя: см. рис. 2.1.4. Поскольку Pp(R) С R, мы можем определить
притягивающее множество Ар так:
Лз=Пда)- (2ЛЛ7>
п^О
Для больших значений а степень сжатия в области R столь велика, что при
численных расчетах область Ар кажется замкнутой кривой. Однако, как
показали Cartwright, Littlewood и Levinson, из сосуществования двух таких
аттракторов с разными периодами следует, что Ар должна быть более сложным
множеством. Для полного уяснения этого требуется знание чисел вращения,
которые будут приведены в разделе 6.2. Здесь же мы по большей части даем
неформальное описание притягивающего множества Ар, основанное на работе
Levi.
106
Глава 2
Рис. 2.1.5. Отображения Пуанкаре, построенные Леви (см. Леви [1981]): (а)
кольцо Ар и области В+, В~; (Ь) редуцированное отображение кольца Fp и
его одномерная аппроксимация fp: S1 -" S1; символом о отмечены устойчивые
неподвижные точки, символом х - неустойчивые неподвижные точки.
После разумного числа (допустим, п = 50) итераций множество А^ =
П
= Р| Рр(В) будет представлять собой тонкое кольцо, стороны которого
к=0
лежат вблизи кривой у = Ф(ж), см. рис. 2.1.5. Точки медленно дрейфуют
вниз с правой стороны и вверх с левой стороны от Л'1 и быстро
перескакивают через низ (или верх) Л'); таким образом, все точки
циркулируют по часовой стрелке, как и в невозмущенной проблеме (см. рис.
2.1.1). По
2.1. Уравнение Ван дер Поля
107
существу, боковое движение является медленным из-за малого члена -х/а в
(2.1.15) в сочетании с имеющими нулевое среднее и амплитуду 0(1)
колебаниями вследствие члена @p(t)/а. Так как на каждом цикле точки
проходят вдоль вертикали расстояние
т т т
У(т) - У(°) = (5 Jl3'P(t)dt- Jх(t)cft] = Jх(*)м = °(h)'
0 0 о
(2.1.18)
мы можем выбрать параллелограмм R+ С /17, показанный на рис. 2.1.5,
верхняя граница которого отображается при отображении рр в нижнюю
границу. Более того, вследствие быстрого сжатия каждая из точек R время
от времени возвращается в R+ при повторных итерациях отображения Рр, см.
рис. 2.1.5(a).
Точки вблизи нижней части /Р дрейфуют вниз и перескакивают левую ветвь
графика у = Ф(ж) до тех пор, пока в момент t = Т/2 они не начнут движение
вверх, поэтому остальные точки из R+ не смогут перескочить до момента t >
Т. Таким образом, как показал Леви, параллелограмм R+ растягивается,
складывается и изгибается таким образом, что полоски а-Ь, b-c, c-d
расположатся по прошествии времени 2Т так, как показано на рис. 2.1.5(a),
т.е. на левой ветви графика у = Ф(ж). Затем образ каждой точки р е Р+
дрейфует вверх без существенного дальнейшего смещения до тех пор, пока он
не достигнет симметрично расположенного параллелограмма II в момент кТ ±
Т/2, зависящий от расположения точки р в /Р. Здесь к = 0(1 /а) - большое
целое число. Затем вновь происходит скачок и процесс растяжения, после
чего образ дрейфует вниз вдоль левой ветви, попадая в R+ после 2/,- I
итераций отображения Пуанкаре. Таким образом, возвратное отображение R+ в
себя представляет собой композицию двух отображений, каждое из которых
описывает простой скачок, свертывание и последующий дрейф и которые
идентичны вследствие симметрии задачи: Ф(ж) = - Ф(-х), (p(t + Т/2) = -
pit). Следовательно, достаточно изучить
отображение за время одного прыжка к±\, Fy. R+ " R~ схематично
показанное на рис. 2.1.5(b).
Для того чтобы сделать отображение непрерывным, отождествим верхний и
нижний углы, получая таким образом (малое) кольцо. При этом мы теряем
информацию о том, возвращается ли точка через 2к +1 или 2к - 1 итераций,
помня при этом, что точки вблизи верхнего края движутся дольше. Леви
показал, что если отображение имеет две устойчивые неподвижные точки, то
одна из них соответствует орбите периода 2к +1, другая - орбите периода
2к - 1, что объясняет вышеприведенное наблюдение. Однако можно получить
дополнительные свойства: заметим, в частности, что, вследствие
свертывания Ар, не может быть простой замкнутой кривой.
108
Глава 2
Так как а >> 1, при каждом применении отображения Пуанкаре сжатие
является очень сильным (точки приближаются к аттрактору со ско-
ванное" отображение кольца Fp: I! i < R на необратимое отображе-
более подробно будет рассмотрен в главе 5). Как показал Леви, почти все
свойства Fp и, следовательно, Рр могут быть выявлены из анализа
одномерного отображения. Одно из таких отображений схематично изображено
на рис. 2.1.5(b). Длина интервала (61,62) увеличивается, в то время как
остальная часть окружности сжимается, причем ее ориентация изменяется.
Это необратимое отображение имеет четыре неподвижные точки: две
устойчивые (\fp\ < 1) и две неустойчивые (\fp\ > 1)- При изменении /3
отображение fp в основном смещается вдоль вертикали, и эти неподвижные
Предыдущая << 1 .. 31 32 33 34 35 36 < 37 > 38 39 40 41 42 43 .. 199 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed