Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей - Гукенхеймер Дж.
ISBN 5-93972-200-8
Скачать (прямая ссылка):
асимптотически устойчивой; поэтому может существовать только одна такая
орбита. Дальнейшую информацию и обзор можно найти в Stoker [1950, 1980].
Вынужденные колебания
Сейчас мы совершим первую важную экскурсию в мир трехмерных динамических
систем. Для начала положим, что а, /3 <С 1, и воспользуемся
преобразованием, аналогичным (2.1.5). Поскольку теперь нас интересуют
(почти) периодические движения, мы применяем 27г/щ-периодическое
преобразование
(2.1.11)
в результате (2.1.2) примет вид
100
Глава 2
Таким образом, если Ф(ж) = х3/3 - х и p(t) = cosuit, то мы получаем
где х = и cosuit - wsin uit. Будем считать, что мы находимся вблизи
резонанса, так что величины \ui2 - 1|, а и /3 малы. В результате
усреднения системы (2.1.12) (см. разделы 4.1^1.2) получаем
где а = (1 - u2)/aui - величина порядка 0(1). Заметим, что если и> = 1 и
/3 = 0, то (2.1.13) переходит в (2.1.7). Промасштабируем и, v с
множителем 2 и заменим t -> (2/a)t, тогда (2.1.13) можно переписать в
виде
где у = (3/2аи и опущены члены 0(а2).
В главе 4 мы увидим, что отображение вдоль потока усредненных уравнений
(2.1.13) за время 2тг/ui служит аппроксимацией отображений Пуанкаре
(2.1.12) и, следовательно, (2.1.1). Следовательно, фазовый портрет
системы (2.1.13) или (2.1.14) представляет интерес. В частности,
гиперболические неподвижные точки и гиперболические замкнутые орбиты
системы (2.1.14) отвечают периодическим орбитам и, соответственно,
инвариантным торам, несущим множество условно-периодических решений
системы (2.1.1) (2.1.2). В инженерной литературе решения первого типа
называют резонансными замком вида (1 : 1), или затянутыми, а второго типа
- дрейфующими1, хотя, как мы увидим в последующих главах, такие решения
зачастую включаются в резонансные более высокого порядка (р : q).
Перейдем к описанию различных фазовых портретов системы (2.1.14) в
зависимости от параметров а, у. Это описание базируется на работах van
der Pol [1927], Cartwright [1948], Giles [1954] и Holmes, Rand
1 И отечественной литературе такие термины обычно не используются. В
первом случае говорят о захвате в резонансе вида (1 : 1), во втором - о
двухчастотном режиме. - Прим. ред.
х sin uit - - sin uit cos uit,
и) 1
(2.1.12)
+ 0(a2), (2.1.13)
ii = и - av - u(u2 + v2), v = <ju + v - v(u2 + v2) - 7,
(2.1.14)
2.1. Уравнение Ван дер Поля
101
Рис. 2.1.2. Бифуркационные множества для усредненного уравнения Ван дер
Поля (2.1.14), из работы Холмса и Ранда [1978]: (а) общая картина; (Ь)
область Q (увеличенная и деформированная).
[1978]. Удобно вначале нарисовать бифуркационное множество в пространстве
сг, 7, т. е. множество точек, для которых поток системы (2.1.14)
структурно неустойчив: см. рис. 2.1.2. Соответствующие фазовые портреты
показаны на рис. 2.1.3 (подробные описания бифуркаций приведены ниже, в
главе 3). В этой двупараметрической системе структурная неустойчивость
имеет место в нескольких различных случаях, перечисленных ниже. Во-
первых, заметим, что в областях I и III существует единственная
неподвижная точка (сток в I и источник в III), в области II имеется два
стока и седло, а в области IV (= IVa U IVb) - сток, седло и источник.
Вначале перечислим бифуркации, которые можно обнаружить при обычном
линейном анализе:
(i) На кривых DA и АС, обозначенных Bs, система имеет одну
гиперболическую и одну негиперболическую неподвижную точку: имеет место
бифуркация седло-узел. Такая бифуркация описывает слияние и последующее
исчезновение двух положений равновесия при переходе из области II или IV
в области I или III. На DO мы имеем сток и седло-узел с нулевым и
положительным собственными значениями; на О А и АВ - сток
102
Глава 2
Пересечение открытого отрезка ОА
- -
Область I (сток) На Bsc (сток и седло-узел) Пересечение открытого отрезка
OD Область II (2 стока.седло)
- Щ- -
Область I (сток) На Bsc (сток и седло-узел) Пересечение открытого отрезка
АВ Область VI (сток, источник, седло)
- - GTx
Область II На Bsc (сток и (2 стока, седло) седло-узел) Пересечение
открытого отрезка BE Область I (сток)
- -
Область I (сток) На Вн (центр) Область III (источник
и предельный цикл)
Пересечение открытого отрезка ОВ
Область II На Вп (сток. Область VI (сток, седло,
(2 стока, седло) седло, центр) источник, предельный цикл)
В точке О (сток и На Bsc (источник, На СВ вблизи точки В особая точка
сток, седловое (источник, предельный
коразмерности 2) соединение) цикл, седло-узел)
В точке А На CS (источник В точке S (источник и
(вырожденный узел) и седло-узел на соединение посредством
предельном цикле) седло-узел)
ПЕНЗЕ
В точке В В точке С (источник и
(центр и седло-узел) окружность из вырожденных особых точек)
Рис. 2.1.3. Фазовые портреты уравнения (2.1.14).
2.1. Уравнение Ван дер Поля
103
и седло-узел с нулевым и отрицательным собственными значениям; наконец,
на ВС - источник и седло-узел с нулевым и отрицательным собственными
значениями.
(ii) На ОЕ сток (или один из стоков) становится негиперболическим: он
