Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гукенхеймер Дж. -> "Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей" -> 33

Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей - Гукенхеймер Дж.

Гукенхеймер Дж., Холмс Ф. Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей — М.: Институт компьютерных исследований, 2002. — 560 c.
ISBN 5-93972-200-8
Скачать (прямая ссылка): nelineyniekolebaniya2002.djvu
Предыдущая << 1 .. 27 28 29 30 31 32 < 33 > 34 35 36 37 38 39 .. 199 >> Следующая

Структурно устойчивые системы плотны в Dilf1(M) или в 3?1(М).
Здесь Diffr(M) (соответственно ЗСГ(М)) обозначает множество всех Сг-
диффеоморфизмов (соответственно векторных полей) на конечномерном
многообразии М. В дальнейшем мы изучим примеры систем, показывающие, что
все три эти гипотезы ложны. Спасти удается лишь часть первой гипотезы:
системы Морса-Смейла действительно являются структурно устойчивыми
(обратное неверно). Одним из основных шагов в опровержении первых двух
гипотез явилось построение Смейлом подковообразного отображения:
двумерного диффеоморфизма, обладающего сложным инвариантным множеством и
встречающегося в некоторых задачах теории вынужденных колебаний. Перед
тем как познакомиться с этим отображением в пятой главе, мы рассмотрим
некоторые примеры трехмерных систем, включая осцилляторы с одной степенью
свободы и периодическим возбуждением, обладающие очень сложной структурой
решений. Эти системы предоставляют дополнительные контрпримеры к
вышеприведенным гипотезам и потому представляют исторический и
практический интерес.
Глава 2
Введение в хаос: четыре примера
В данной главе мы познакомимся с четырьмя нелинейными системами, которые
обладают замечательными свойствами и которые до сих пор остаются неверно
понятыми. Мы выбрали две колебательных системы с одной степенью свободы и
периодическим возбуждением, трехмерное автономное дифференциальное
уравнение и двумерное отображение. Осцилляторы Ван дер Поля (van der Pol
[1927]) и Дуффинга (Duffing [1918]) первоначально возникли как модели в
теории электрических цепей и механике твердого тела соответственно, а
уравнения Лоренца (Lorenz [1963]) представляют собой усечение уравнений в
частных производных, описывающих конвекцию в жидкости. Наконец, наше
отображение моделирует простую систему с повторяющимися ударами (Holmes
[1982]), а также, в слегка измененной форме, резонансные проблемы в
атомной физике (Чириков [1979], Green [1980]). В действительности,
консервативная, сохраняющая площадь версия этого отображения интенсивно
изучалась как канонический пример перехода к стохастичности и хаосу в
гамильтоновых системах. Диапазон приложений описанных здесь моделей
должен навести на мысль о важности нелинейных систем.
Предложенные вначале как модели физических процессов, все четыре системы
затем широко исследовались и обрели самостоятельную математическую жизнь.
Таким образом, в наших коротких обзорах этих проблем мы сможем наметить
значительную часть последующего материала книги, включая теорию
бифуркаций векторных полей и отображений, методы возмущений и усреднения.
Мы будем приводить многие результаты без надлежащих пояснений или
доказательств, но затем заполнять пробелы, возвращаясь к этим четырем
примерам по мере последовательного развития используемого аналитического
аппарата. Поэтому читателю не следует ожидать полного усвоения материала
данной главы при первом чтении, но следует вернуться к нему при появлении
этих примеров в последующих главах.
Хотя анализ всех примеров выполнен в похожем стиле, конкретные методы
значительно различаются. При изучении этих задач оказались полезными
почти все приемы прикладной математики, и данная глава отражает это. В
частности, в каждом из случаев мы проиллюстрировали типичное поведение
систем при помощи численного интегрирования и итераций. Хо-
96
Глава 2
тя компьютер редко позволяет доказывать теоремы, в нелинейной динамике он
зачастую подсказывает результат, который следует попытаться доказать, в
связи с чем численное моделирование является неоценимым средством. Мы
настоятельно рекомендуем читателю провести самостоятельную работу по
интегрированию данных и аналогичных систем. Даже относительно низкая
точность, достижимая на микрокомпьютере с видеоэкраном, позволяет
проиллюстрировать многие интересные особенности этих нелинейных
динамических систем.
2.1. Уравнение Ван дер Поля
Уравнение Ван дер Поля является примером осциллятора с нелинейным
трением, в котором энергия рассеивается при больших амплитудах и
генерируется при малых амплитудах. Для таких систем типично наличие
предельных циклов; они колеблются вблизи состояний, в которых приток и
диссипация энергии сбалансированы, что имеет место во многих физических
проблемах.
Первоначально Ван дер Поль (van der Pol [1927]) использовал это уравнение
как модель электрической цепи с ламповым триодом, сопротивление которой
зависит от силы тока: отрицательное сопротивление при малом токе
становится положительным по мере его роста (статья Ван дер Поля
перепечатана в Bellman, Kalaba [1964]). Дальнейшую информацию о
нелинейных осцилляторах как моделях электрических цепей можно найти в
Хаяши [1964]. Осциллятор с одной степенью свободы и предельным циклом,
аналогичный системе Ван дер Поля без внешней нагрузки, встречается также
в моделях колебаний зданий под действием ветра при распространении вихрей
(Novak, Davenport [1970], Parkinson [1974], Hartlan, Currie [1970]), в
Предыдущая << 1 .. 27 28 29 30 31 32 < 33 > 34 35 36 37 38 39 .. 199 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed