Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей - Гукенхеймер Дж.
ISBN 5-93972-200-8
Скачать (прямая ссылка):
неблуждающих множеств, таких как тор Т2 с иррациональным потоком, который
возникает в линейном потоке
для иррационального отношения а/Ь (данный пример обсужден выше в разд.
1.8). Разумеется, в случае рационального потока на Т2 этот тор заполнен
непрерывным семейством негиперболических замкнутых орбит.
Доказательство утверждения, касающегося плотности структурно устойчивых
потоков на ориентированных многообразиях более трудно и включает в себя
лемму о замыкании (Pugh [1967 a,b]). Это доказательство можно найти,
например, в Палис, Ди Мелу [1986].
УПРАЖНЕНИЕ 1.9.1. Изобразите фазовые портреты семейства ж = у + х2 - ху,
у = у2 - ^ж2 - 1 и покажите, что при у = 0 существует седловое
соединение. Что произойдет при у > 0 и при у < 0? (См. Guckenheimer
[1973] и раздел 6.1.)
в = а
(6,ф) G Т2,
ф = ь,
(1.9.1)
92
Глава 1
Рис. 1.9.4. (a) ц < 0; (b) ц = 0; (с) ц > 0.
Хотя теорема Пейксото гарантирует, что в типичных семействах плоских
систем структурно устойчивые системы составляют множество полной меры,
нельзя исключить и сущес твования в некоторой окрестности бесконечного
множества неустойчивых (бифуркационных) систем. Следующий пример был
предложен Ж. Палисом в связи с модулями седловых соединений, не
обсуждающимися в данной книге. Рассмотрим однопараметрическое семейство х
= /^(х), х G М2, с фазовыми портретами, показанными на рис. 1.9.4(а)-(с)
для ц<0, ц = 0иц>0. Для ц < 0 существуют две периодические замкнутые
орбиты, а для ц = 0 они соединяются в единственную "полуустойчивую"
орбиту, являющуюся ^'-предельным множеством для близлежащих внутренних
точек и п-предельным множеством для близких точек вне границы. Для ц > 0
замкнутых орбит не существует. В узком кольце, содержащем данные орбиты,
перестройка фазового портре-
1.9. Теорема Пейксото для двумерных потоков
93
та наблюдается как локальная бифуркация замкнутых орбит типа "седло-
узел", однако глобально решающую роль здесь играет поведение устойчивого
и неустойчивого многообразий седловых точек г и q. Для ц < О п-предельным
множеством для точек, лежащих на левой ветви Wf(r) многообразия Ws(г),
является отталкивающая замкнутая орбита 72, а щ-пре-дельным множеством
для точек обеих ветвей многообразия Wu(q) служит притягивающая замкнутая
орбита 71. При ц = О эти две орбиты сливаются в орбиту 7о, являющуюся щ-
предельным множеством для точек из Wu(q) и а:-предельным множеством для
точек из Wf(r). Чтобы увидеть, что происходит с Wf(r) и Wu(q) при ц > О,
построим локальное сечение Е, изображенное на рис. 1.9.4(b). В случае ц =
О кривая 70 пересекает ? в точке ро, и каждое из множеств Wf(r) П Е, W^q)
П Е и W(tm){q) П Е представляет собой счетную последовательность точек,
накапливающихся кро, первая из них - сверху, остальные две - снизу, см.
рис. 1.9.5(a), (Ь). Положим И?(г)ПЕ = {гг}(tm)1, W^iq) П Е = Ы^, W"(g)nE =
Ч2 ~
q 1
Р'2
Р\
-q'2
~ч\
а)
42-
Ч\-
-р о
42
¦ч\
Ь)
4п+ г-
4п-
4з Н
4г-
44"
С-1 С С+1 с)
Рис. 1.9.5. Поперечное сечение: (а) ц < 0; (Ь) ц = 0; (с) ц > 0.
Мы имеем отображение Пуанкаре, определенное в некоторой окрестности U С
Е, причем по построению Р_1(ту) = iy+1, Р(<й) = q%+1, P{q'i) = = q'i+i-
Ясно, что при ц > 0 все орбиты пересекают вышеупомянутую кольцевую
область и покидают ее сверху с ростом времени, а снизу - в
противоположном направлении через некоторое конечное число итераций
(данное число неограниченно растет при р -> +0). Таким образом, для
любого е > 0 и р 7 [0,е] существуют счетные множества точек ту, qy, 5',
где j > N, на Е. Следовательно, в интервале р 7 [0, е] имеет место
счетное число бифуркаций гетероклинных седловых соединений, и
бифуркационное множество представляет собой последовательность точек /7,
накапливаю-
94
Глава 1
щуюся сверху к нулю. Тем не менее, поскольку структурно неустойчивые
системы существуют при изолированных значениях мы все-таки имеем открытое
плотное множество структурно устойчивых систем в окрестности системы х =
fo(x).
Принимая во внимание теорему Пейксото, Смейл предложил изучать системы на
компактных n-многообразиях, удовлетворяющих условиям (1) и (3) теоремы
1.9.1 с подходящей модификацией условия (2) в свете теоремы 1.8.3. Такие
системы называют теперь системами Морса-Смейла.
Определение. Система Морса-Смейла определяется следующими свойствами:
(1) число неподвижных точек и периодических орбит конечно и все они
гиперболичны;
(2) все устойчивые и неустойчивые многообразия пересекаются
трансверсально;
(3) неблуждающее множество состоит только из неподвижных точек и
периодических орбит.
В понятие трансверсального пересечения мы включаем и пустое множество,
так как очевидно, что если два многообразия не пересекаются (т. е.
удалены друг от друга), то никакое малое возмущение не приведет к их
пересечению.
Затем были выдвинуты следующие гипотезы:
Система структурно устойчива тогда и только тогда, когда она является
системой Морса-Смейла;
Системы Морса-Смейла плотны в Diff^M) или в
