Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей - Гукенхеймер Дж.
ISBN 5-93972-200-8
Скачать (прямая ссылка):
систему (1.8.38) и ее обобщение и показали, что если \р\ > \6/2\ > 0, то
существуют ровно две гиперболических периодических орбиты на торах:
аттрактор и репеллер. Такая ситуация называется фазовым замком типа 1 :
1, или посадкой в поезд. Фазовый замок изучался во многих работах, см.,
например, Nayfeh, Mook [1979] и имеющиеся там ссылки.
При обычно используемых схемах теории возмущений пренебрегают членами
старших порядков (0(е2)), однако, поскольку поток с двумя
гиперболическими орбитами структурно устойчив (теорема Пейксото из
следующего раздела), результат для полной системы качественно верен, так
как добавление отбрасываемых членов приводит к малому возмущению. Однако
в случае |<5/2| > |/3| приближенный анализ предсказывает, что поток на
0^ Si p "е"1. (1.8.38)
1.9. Теорема Пейксото для двумерных потоков
89
торе не будет содержать аттракторов или репеллеров: либо все орбиты
периодичны, либо существует плотная орбита на Т2. Такая структурно
неустойчивая ситуация не позволяет сделать (прямой) вывод об истинном
потоке на Т2. В действительности можно ожидать существование некоторой
очень сложной последовательности бифуркаций сразу после разрушения
фазового замка. Мы будем обсуждать такую ситуацию в разделе 6.2.
УПРАЖНЕНИЕ 1.8.15. Постройте структурно устойчивую систему на Т2 с двумя
замкнутыми орбитами.
1.9. Теорема Пейксото для двумерных потоков
Располагая различными примерами двумерных потоков, мы готовы теперь
сформулировать и наметить доказательство теоремы Пейксото, представляющей
собой кульминацию многих предшествующих работ, в частности, Пуанкаре
[1899] и Андронова, Понтрягина [1937]. Обозначим ЭСГ(М2) множество всех
векторных полей класса Сг на двумерных многообразиях.
Теорема 1.9.1 (Peixoto [1962]). Векторное поле класса Сг на компактном
двумерном многообразии М2 структурно устойчиво тогда и только тогда,
когда
(1) число неподвижных точек и замкнутых орбит конечно и все они
гиперболичны;
(2) не существует орбит, соединяющих седловые точки;
(3) неблуждающее множество состоит лишь из неподвижных точек и
периодических орбит.
Кроме того, если М2 ориентировано, то множество структурно устойчивых
векторных полей плотно в ЭСГ{М2).
Можно оперировать векторными полями на плоскости при условии, что
существует компакт D С М2 такой, что на границе D поток направлен внутрь
(или наружу). В противном случае легко построить системы, имеющие счетное
множество неподвижных точек или замкнутых орбит. Заметим также, что для
плоского фазового пространства условие (3) автоматически следует из (1) и
(2), так как не существует других предельных множеств, помимо неподвижных
точек, замкнутых орбит и гомоклинных циклов, а последние исключены
условием (2).
Из теоремы Пейксото следует, что типичное двумерное векторное поле будет
содержать только стоки, седла, источники, а также притягивающие и
отталкивающие замкнутые орбиты в качестве инвариантных множеств, см. рис.
1.9.1(a). Структурная устойчивость является для двумерных систем на
ориентированных многообразиях типичным свойством. Многие составные части
теоремы Пейксото были доказаны Андроновым с соавторами
90
Глава 1
b)
Рис. 1.9.1. (а) Некоторые структурно устойчивые неблуждающие множества в
R2. (Ь) Некоторые структурно неустойчивые неблуждающие множества в R2.
(см. Андронов и др. [1966]) в течение нескольких десятилетий, начиная с
1935 года. Мы наметим доказательство утверждения о структурной
устойчивости.
Первое условие (гиперболичность неподвижных точек и периодических орбит)
следует из рассмотрения линеаризованного потока или подходящих
отображений Пуанкаре. Можно показать, что множества таких линейных
потоков и отображений имеют плотные подмножества гиперболических потоков,
соответственно, отображений (см. Hirsch, Smale [1974], глава 7). Таким
образом, если некоторый нелинейный поток содержит, к примеру,
негиперболическую неподвижную точку, то достаточно малого возмущения,
чтобы превратить ее в гиперболическую; кроме того, гиперболическая
неподвижная точка остается гиперболичной для всех достаточно малых
возмущений.
Второе условие можно доказать следующим образом. Допустим, что две
седловые точки р\, р2 потока векторного поля
Х\ /l (жг, Ж2),
Х2 /2(3:1, Ж2)
соединены кривой Г = Wu{p\) П 1Ия(р2) (см. рис. 1.9.2). Возмутим
векторное поле (/г (ж г, Х2), /2(2:1, ж2)), добавляя к нему поле (е^Дж!,
ж2), ?(Д(Ж1, ж2)), имеющее компактный носитель - некоторую (малую)
область U, охватывающую кривую Г, как показано на рисунке. Легко выбрать
такое возмущение, что все орбиты, входящие в U, будут "повернуты вверх"
1.9. Теорема Пейксото для двумерных потоков
91
Рис. 1.9.2. Седловое соединение.
а)
Ь)
Рис. 1.9.3. (а) Нарушенное соединение; (Ь) (ефг, еф2).
(или вниз), и Г разрушится (рис. 1.9.3). Если же эти два многообразия не
пересекаются, то достаточно малые возмущения не могут привести к их
пересечению.
Третье условие необходимо для исключения структурно неустойчивых
