Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей - Гукенхеймер Дж.
ISBN 5-93972-200-8
Скачать (прямая ссылка):
86
Глава 1
Помимо приложений в классической механике, система в + 2ав + + sind = /3
предоставляет дискретную (унимодальную) аппроксимацию уравнения Синус-
Гордона, играющего важную роль в физике как модель волновых функций для
сверхпроводящих соединений Джозефсона (см. Levi и др. [1978]). Мы
вернемся к этому примеру в разделе 4.6.
Второй канонический пример системы, определенной на двумерном
многообразии - поток на торе Т2 = S1 х S1:
в = /(в ,ф);
(в,ф) еТ ; /, д - 27г-периодичны по в, ф. (1.8.31)
Ф = д(0,ФУ,
Важным частным случаем является линейная система:
= а, = Ъ.
(1.8.32)
Как хорошо известно, если отношение | является рациональным числом,
то на Г2 существует непрерывное семейство периодических орбит, а если
иррациональным, то орбиты непериодичны и плотны. Так как иррациональные и
рациональные числа плотны в К, каждый из этих двух топологически
различных типов может быть аппроксимирован с любой точностью системой
другого типа, поэтому уравнение (1.8.32) структурно неустойчиво при всех
значениях а, Ь.
Линейный поток (1.8.32) имеет более важное значение, чем может показаться
из-за его специального вида: любой (нелинейный) поток на Г2, не имеющий
положений равновесия или замкнутых орбит, с необходимостью порождается
векторным полем, С0-эквивалентным некоторой системе (1.8.32), где
отношение ^ иррационально. Мы вернемся к этому вопросу в разделе 6.2.
Покажем, что потоки на двумерных торах также имеют место в линейных
недемпфированных системах с двумя степенями свободы. Рассмотрим систему
x-\-ujx = 0, у + сэ|у = 0, (1.8.33)
где уравнения записаны в канонических (нормальных) координатах, что
позволяет разделить моды. Система обладает двумя независимыми первыми
интегралами:
Д2 Ulfx^ , W2 Uxklj1
Н±(х,х) = --\----------------- = к\7 Н2(у7у) = ~тг + а
= &2, (1.8.34)
1.8. Двумерные потоки
87
каждый из которых сохраняет постоянное значение в процессе эволюции
четырехмерного вектора решений x(t), x(t), y(t), y(t) во времени. Эти две
интегральных связи принуждают фазовые кривые располагаться на некотором
двумерном торе, являющемся произведением двух эллипсов, лежащих в
пространствах (х, х) и (у, у) и определяемых этими связями. Чтобы
убедиться в этом, перейдем к переменным "действие-угол" (Голдстейн
[1980], Арнольд [1974]):
<2j
= -"/-p-sin0i, х = cos $i,
У = \l 777Г sln^2j y=V^coSe2.
В результате получим систему
h =0, i2 = 0,
в\ = U>1, в2 = U>2,
(1.8.35)
(1.8.36)
решение которой при начальных условиях (/J5, I0(r), 0§) имеет вид
h(t)=11 (1.8.37)
6\(t) = to\t + в\, 0г(?) = 1 + б^-
Таким образом, четырехмерное фазовое пространство заполнено двумерными
торами I = I(r), I2 = I(r), каждый из которых несет рациональный
или иррациональный поток в зависимости от соотношения Щ-. Вообще,
интегрируемые гамильтоновы системы с п степенями свободы порождают потоки
на n-мерных торах (см., например, Арнольд [1974], Голдстейн [1980]).
Фундаментальная статья Колмогорова [1957] послужила основой КАМ-теории
(см. разд. 4.8 и 6.2).
УПРАЖНЕНИЕ 1.8.14. Рассмотрим гамильтонову систему на R4 с гамильтониа-
•2 Д2 2 3 -v/2 -v/3
тт, ¦ -N X . У . X , X , У У тт
ном Н (х, х, у, у) = -у - + -у - + -у - + - + ~2-д-. Покажите, что
существуют два
независимых интеграла, и опишите структуру орбит системы. (Здесь
представлен особый случай системы "анти-Хенона-Хейлеса", см. Нёпоп,
Heiles [1964], Aizava, Saito [1972].)
Потоки на двумерных торах (более обще, на n-мерных торах) возникают также
при изучении связанных неконсервативных осцилляторов,
88
Глава 1
имеющих предельные циклы. Рассмотрим, например, два идентичных
осциллятора Ван дер Поля при наличии слабого линейного взаимодействия [3
и малой расстройки 5:
х + е(х2 - 1)х + х = [3 (у - х),
У + е(у2 - 1 )у + у = /3(х -у)- Sy7
Известно, что при 5 = /3 = 0 каждый из осцилляторов Ван дер Поля
обладает притягивающим предельным циклом, описываемым
(приближенно)
соотношением
x(t) = 2 cos(i + 0?), x(t) = -2 sin (t + 0?),
' У n (1.8.39)
y(t) =2 cos (t + @2) i У (t) = ~ 2 sin(t + 62),
где 0°, 0§ - произвольные (фазовые) постоянные, определяемые из начальных
условий (см. разд. 2.1). Произведение S'1 х S1 двух окружностей радиуса
два в плоскостях (х, х) и (у, у) является двумерным тором Т2 С М4.
Однако, в отличие от двухпараметрического семейства торов в
вышеприведенном гамильтоновом примере, данный тор является аттрактором',
действительно, близлежащие орбиты приближаются к нему экспоненциально, и,
как мы увидим ниже, он сохраняется при возмущениях. Таким образом, малые
возмущения, такие как добавление слабой взаимосвязи (/3, 8 -С е), не
могут разрушить тор в целом, как притягивающее множество.
Однако поскольку данное векторное поле на торе можно записать в
виде
01 =-1, 02 = -1, (0ь02)еТ2, (1.8.40)
то он несет линейный (рациональный) поток, который структурно неустойчив.
Таким образом, хотя тор в целом сохраняется, структура его орбит для
связанных осцилляторов радикально изменяется. Rand, Holmes [1980] изучили
