Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гукенхеймер Дж. -> "Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей" -> 29

Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей - Гукенхеймер Дж.

Гукенхеймер Дж., Холмс Ф. Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей — М.: Институт компьютерных исследований, 2002. — 560 c.
ISBN 5-93972-200-8
Скачать (прямая ссылка): nelineyniekolebaniya2002.djvu
Предыдущая << 1 .. 23 24 25 26 27 28 < 29 > 30 31 32 33 34 35 .. 199 >> Следующая

полуплоскости, а критерий устойчивости Хопфа (раздел 3.4) показывает, что
точка (1,1) представляет собой (слабо устойчивый) спиральный сток
(негрубый фокус). Завершение глобального анализа предоставляется
читателю:
УПРАЖНЕНИЕ 1.8.10. Докажите, что (0,0) - ш-предельная точка для всех
точек {(х,у) ? R2 | х 5) 0}. Покажите, что если не существует замкнутых
орбит, окружающих точку (1,1), то она является щ-предельной для всех
точек {(х,у) ? R2 | х > 0}. Опишите некоторые возможные структуры,
обладающие замкнутыми орбитами в правой полуплоскости. Можете ли вы
проверить, что на самом деле замкнутых орбит не существует (см. рис.
1.8.8(b))? (Предупреждение: при численном интегрировании с недостаточно
малым шагом по времени могут появиться ложные периодические орбиты.)
Как показывает данный пример, использование метода изоклин довольно
утомительно и часто приводит к неполным результатам. Сегодня ему обычно
предпочитают численное интегрирование системы. Однако в некоторых случаях
понятия изоклин и инвариантных прямых могут использоваться для получения
точной информации. К примеру, для однородной системы третьего порядка
которую мы встретим в седьмой главе как нормальную форму некоторого
вырожденного векторного поля, окажется возможным показать существование
определенных инвариантных прямых на фазовом портрете. Ясно, что к их
числу относятся координатные оси, так как х = 0 для всех t, если ж(0) =
0, и аналогично у = 0, если у{0) = 0. На этих прямых векторные поля имеют
простую форму: соответственно у = dy3 и х = ах3. Мы утверждаем, что при
подходящем выборе значений а, Ь, с, d могут существовать и другие
инвариантные прямые, проходящие через начало координат. Пусть они
задаются формулой у = ах. Тогда, разделив одно из уравнений (1.8.23) на
другое, мы получим
х = ах3 + Ьху2, у = cx2y + dy3,
(1.8.23)
dy_ _ У(сх2 + dy2) dx х(ах2 + by2)
(1.8.24)
т->
В силу инвариантности прямой у = ах, имеем также = а, так что векторное
поле касается прямой у = ах в каждой ее точке. Таким образом,
84
Глава 1
из (1.8.24) получаем уравнение
(сх2 + da2x2)
а = а ----------------------.
(ах + Ьа х )'
или
a2(d - Ъ) = а - с,
имеющее два корня
(1.8.25)
" = о-8-ЭД
при условии, что числа а-с nd-Ь имеют одинаковый знак. Читателю
рекомендуется убедиться, что на такой прямой поток определяется
одномерной системой
й=(^-у)и3- (1.8.27)
УПРАЖНЕНИЕ 1.8.11. Изобразите несколько фазовых портретов для системы
(1.8.23) для различного выбора коэффициентов (а, Ь, с, d). (Если
вы почувствуете
неуверенность, обратитесь к разделу 7.5.)
УПРАЖНЕНИЕ 1.8.12. Используйте метод изоклин для определения
местонахождения предельного цикла осциллятора Ван дер Поля
х + 2(ж2 - 1)ж + х = 0.
Закончим данный раздел несколькими примерами систем с неплоскими фазовыми
пространствами. Первый из них - неизбежный маятник, записанный в
безразмерных переменных:
6 + sin 6 = 0. (1.8.28)
Это классический пример системы с неплоским фазовым пространством.
Конфигурационная переменная в е [-¦7г, тт) представляет собой угол,
поэтому, определяя скорость в = v, получим в качестве фазового
пространства цилиндр. Уравнения примут вид
в = 1У' л (в, v) g S1 х R. (1.8.29)
v = - sind,
Такая форма представления удобна для устранения недоразумений, связанных
с существованием бесконечного множества различных положений
1.8. Двумерные потоки
85
равновесия в = ±птг, п = 1, 2, . . ., несмотря на физическое наличие лишь
двух равновесий при в = 0 и при в = тг = -тг. Фазовый портрет системы
(1.8.29) легко построить, зная первый интеграл Н: S1 х R -> М:
Н{в7и) = у + (1 -cos в). (1.8.30)
(Единичная постоянная здесь не обязательна, она естественно возникает из
физической постановки, в которой потенциальная энергия V(в) имеет вид
mgl( 1 - cos в) для маятника массы то и длины I, где в измеряется от
вертикали, направленной вниз, так что К(0) = 0.) Конечно, фазовый портрет
периодичен по в с периодом 2тг (рис. 1.8.9).
Рис. 1.8.9. Фазовый портрет для простого маятника.
Цилиндрическое фазовое пространство получается при отождествлении прямых
в = -1т(АА') и в = +7г(ВВ'). Хорошая иллюстрация приведена в Андронов и
др. [1966, стр. 98]. Важно осознать, что такие орбиты, как отмеченные на
рис. 1.8.9, в действительности являются замкнутыми орбитами, окружающими
цилиндр: такие орбиты соответствуют вращательным, а не колебательным
движениям маятника. Эти два типа движений разделены орбитой,
гомоклинической к седловой точке.
Упражнение 1.8.13. Изобразите фазовый портрет маятника с демпфером в + +
2ав + sin в = 0, 0 ^ а < 1, а также маятника, к которому приложен
постоянный момент (3 > 0: /3 + sin в = /3. Рассмотрите случаи /3 < 1 и (3
> 1. Обсудите также маятник с трением и моментом в + 2ав + sin в = /3.
Обе системы без трения обладают гомоклинными и периодическими орбитами;
могут ли и системы с трением иметь какие-либо из этих орбит? (Это весьма
трудная задача. Вы можете посмотреть раздел 4.6.)
Предыдущая << 1 .. 23 24 25 26 27 28 < 29 > 30 31 32 33 34 35 .. 199 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed