Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей - Гукенхеймер Дж.
ISBN 5-93972-200-8
Скачать (прямая ссылка):
угол 2ттк, где к - некоторое целое число. (Угол также измеряется против
часовой стрелки.) Число к называется индексом замкнутой кривой С. Можно
показать, что индекс не зависит от формы С в том смысле, что он
определяется исключительно характером неподвижных точек, лежащих внутри
С.
Если С окружает единственную изолированную неподвижную точку х, то индекс
этой кривой называется индексом точки х. Читатель может проверить
справедливость следующих утверждений либо из непосредственного
рассмотрения векторных полей (см. рис. 1.8.6), либо вычисляя
криволинейный интеграл
как это сделано в Андронов и др. [1966, § V.8],
Предложение 1.8.4.
(i) Индекс источника, стока или центра простых состояний равновесия
равен единице.
(И) Индекс гиперболической седловой точки равен - 1.
(iii) Индекс замкнутой орбиты равен +1.
(iv) Индекс замкнутой кривой, внутри которой нет особых точек, равен 0.
(v) Индекс замкнутой кривой равен сумме индексов неподвижных точек,
лежащих внутри нее.
Сформулируем непосредственное следствие данного утверждения.
Следствие 1.8.5. Внутри любой замкнутой орбиты у содержится хотя бы одна
неподвижная точка. Если все такие точки гиперболичны, то число их
необходимо нечетно (2п + 1), включая п седел и п + 1 источников и стоков.
Легко построить вырожденные неподвижные точки, индексы которых отличны от
±1. Например, для системы
с
с
с
(1.8.15)
X = X2,
У = ~У,
(1.8.16)
1.8. Двумерные потоки
79
Рис. 1.8.6. Индексы неподвижных точек и замкнутых кривых: (а) источники и
стоки; (Ь) гиперболическая седловая точка; (с) замкнутые орбиты; (d) С не
содержит неподвижных точек.
80
Глава 1
начало координат является вырожденной точкой типа седло -узел с нулевым
индексом, а для системы
* = (1.8.17)
У = 2 ху
оно является вырожденной точкой индекса два (см. рис. 1.8.7).
Рис. 1.8.7. Индексы некоторых негиперболических положений равновесия: (а)
сед-ловая точка; (Ь) векторное поле системы (1.8.17).
Следующее упражнение указывает на происхождение последней системы, а
также на метод ее анализа.
УПРАЖНЕНИЕ 1.8.9. Полагая z - х + iy, покажите, что векторные поля на
комплексной плоскости, определяемые формулами
к • -к
Z - Z И Z - z ,
имеют единственную неподвижную точку z = 0 ((х, у) = (0, 0)) с индексами
к и -к соответственно. (Здесь ~z обозначает комплексное сопряжение.)
(Подсказка: в формулах х - Re(zfc), у - lm(zk) положите г = гегв.)
Изобразите векторные поля вблизи таких неподвижных точек с индексами 3 и
-3.
Следующий простой, но полезный прием приближенного построения глобального
фазового портрета известен как метод изоклин. Исключая явную зависимость
от времени из уравнений (1.8.1), получим систему первого порядка вида
^ = #4 И-*."*)
dx f{x,y)
Временно пренебрегая возможной неопределенностью системы (1.8.18) на
кривой f(x,y) = 0, построим кривые у = h(x) или х = h(y), на которых
1.8. Двумерные потоки
81
угловой коэффициент векторного поля постоянен: ^ = с. Такие кривые
ах
задаются уравнением (возможно, неявным)
д{х, у) = cf(x, у) (1.8.19)
и называются изоклинами.
Если построить достаточно плотное множество изоклин, то можно изобразить
решение системы (1.8.1) с нужной точностью. Данный метод иллюстрируется
примером:
х = х - ху, у = -у + Х2.
(1.8.20)
Сначала найдем две неподвижные точки (0,0) и (1,1) и убедимся, что
линеаризованные системы имеют матрицы
Df( 0,0) =
0 0
0 -1
и ?>/(1,1) =
1 -1
2 -1
(1.8.21)
с собственными значениями 0, -1 и ±г соответственно. Следовательно, обе
неподвижные точки негиперболичны и теорема Хартмана неприменима. Далее
заметим, что если ж(0) = 0, то х = 0, так что ось у является инвариантной
прямой, в точках которой поток описывается уравнением у = -у, в
действительности, она представляет собой глобальное инвариантное
многообразие для точки (0,0). Данное векторное поле также вертикально в
точках прямой у = х.
Продолжим отыскание изоклин, на которых ^ = се (-оо, оо), решая уравнение
- х2)
с(х2 - ху)
(1 с)х def 7 / Ч
(1.8.22)
Некоторые из этих кривых и соответствующие им направления векторного поля
изображены на рис. 1.8.8(a). В дополнение к вычерчиванию изоклин, иногда
полезно также изобразить векторное поле на особых линиях, таких как
прямая у = 1.
Изображенные на рис. 1.8.8(a) векторы дают, при учете инвариантности оси
у, общее представление о структуре фазовых кривых, а более подробную
информацию о локальной структуре вблизи вырожденных особых
82
Глава 1
а)
Рис. 1.8.8. Изоклины и частичный фазовый портрет для уравнения (1.8.20):
(а) изоклины; (Ь) фазовый портрет, полученный с помощью числовых расчетов
(метод Рунге-Кутта, размер шага 0.02).
точек дают методы центрального инвариантного многообразия, которые будут
описаны в третьей главе. Приложения этих методов, представленные там в
качестве упражнений и примеров, показывают, что точка (0, 0) яв-
1.8. Двумерные потоки
83
ляется ш-предельной для всех решений, начинающихся вблизи нее в левой
полуплоскости (х 0), и a-предельной точкой для близких кривых из правой
