Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей - Гукенхеймер Дж.
ISBN 5-93972-200-8
Скачать (прямая ссылка):
также знакомит с двумя важными специальными типами систем: гамильтоновы и
градиентные потоки. В системах каждого из этих типов глобальная структура
потока определяется линиями уровня некоторой вещественнозначной функции.
Рассмотрим пример системы
х = -Qx - А у + ху,
¦ ^ А д. 1,2 2\ (1.8.5)
у = лх - Qy + ~{х - у ),
возникающий при исследовании методом усреднения (см. четвертую главу)
колебаний, вызванных ветром (Holmes [1979b]). Здесь О < С " 1 -
коэффициент затухания, а А (|А| <С 1) - параметр расстройки. При ? = О
система (1.8.5) становится гамильтоновой (Голдстейн, [1980]):
• дН дН пя ^
X = W " = (1'8'6)
для которой функция Гамильтона (энергия)
Н(х, у) = -^(х2 + у2) + \ (ху2 - (1.8.7)
является отображением Н: R2 -> R. Критические точки Н соответствуют
неподвижным точкам потока гамильтоновых уравнений (1.8.6). Более того,
поскольку
dR дН - , <Ш. дНдН _ дНдН = п
dt дх ду дх ду ду дх ~ '
линии уровня Н(х,у) = const являются фазовыми кривыми для (1.8.6). Таким
образом, в нашем примере нетрудно изобразить фазовый портрет - см. рис.
1.8.2. Такую систему называют интегрируемой, так как решения,
1.8. Двумерные потоки
73
Рис. 1.8.2. Фазовый портрет уравнения (1.8.5); С = О, Л > 0.
или интегральные кривые, лежат на поверхностях уровня некоторой гладкой
функции.
Заметим, что три седловые точкирз = (-2А,0) иргд = (А, ±-\/ЗА) связаны
между собой1. Соединительные кривые = Wu(pi) П Ws(pj) служат примерами
седловых соединений или гетероклинных орбит (если такая кривая соединяет
седловую точку саму с собой, ее называют гомоклинной орбитой). Здесь эти
орбиты возникают как результат наличия интеграла Гамильтона, но седловые
соединения могут иметь место и в негамильтоновых системах. Читателю
предлагается проверить, что если ? > 0, то все три соединения разрушаются
и неустойчивые многообразия Wu(pi) будут иметь компоненты, приближающиеся
к неподвижной точке в начале координат при t - ос . Данная точка
является, таким образом, стоком, имеющим собственные значения -?±(А.
Отдавая себе отчет в том, что каждая из кривых Tij является пересечением
двух одномерных кривых Wu(pi) и Ws(pj) на плоскости, мы вправе ожидать,
что они существуют лишь при некоторых особых обстоятельствах и что их
можно разрушить произвольно малыми возмущениями. Следовательно, такие
соединения структурно неустойчивы в пространстве всех векторных полей на
R2. Мы вернемся к этому вопросу
10бразуют контур, составленный из седел и их сепаратрис. - Прим. ред.
перев.
74
Глава 1
позднее, при доказательстве теоремы Пейксото. Заметим, что из наличия
пересечения Wu(pi) и Ws(pj) следует, что на самом деле эти кривые имеют
совпадающие участки: они не могут просто пересечься, как показано на рис.
1.8.3(b), так как в этом случае решение с базой в точке пересечения q
имело бы два возможных пути эволюции вопреки единственности решения.
Рис. 1.8.3. Гетероклинические точки q е Wu(pi) ПГГДрг) для потоковвЕ2:
(а) допустимые; (Ь) недопустимые.
После линеаризации плоской гамильтоновой системы в неподвижной точке
оказывается, что tr Df = 0, вследствие чего все неподвижные точки будут
или седлами, или центрами, а существование источников и стоков
невозможно. Это отражает более общий факт, известный как теорема Лиу-
вилля, что гамильтоновы потоки сохраняют объем (в двумерном случае -
площадь). Дальнейшую информацию об этом и других результатах, применимых
к многомерным гамильтоновым системам, можно найти в классических
учебниках механики Голдстейна [1980] или Арнольда [1974].
УПРАЖНЕНИЕ 1.8.5. Покажите, что дифференциальное уравнение вида х - -
f(y)> У - 9{х) всегда обладает первым интегралом F(y) + G(x), линии
уровня которого являются фазовыми кривыми. Используйте этот результат для
изучения структуры глобального решения системы х - -у + у3, у - х - х3.
Особый класс нелинейных систем, с которыми мы будем иметь дело в этой
книге, описывается уравнением
а)
Ь)
х + /(ж) = 0
(1.8.9)
или векторным полем на плоскости х, у = х:
х = у, у = -f(x).
/(.
(1.8.10)
1.8. Двумерные потоки
75
Такая гамильтонова система всегда имеет первый интеграл (по крайней мере,
с формальной точки зрения):
Н(х,у) = у+ j f{x)dxA= у + V(x), (1.8.11)
где функцию V (х) иногда называют потенциальной энергией, так как в
механических приложениях она часто имеет такой смысл (см. Андронов и др.
[1966], Marion [1970]).
Всякая неподвижная точка системы (1.8.10) лежит на оси х и соответствует
некоторой критической точке функции V(x). Таким образом, вещественная
функция V: М -> М эффективно определяет локальную форму векторного поля и
потока вблизи каждой неподвижной точки. Андронов и др. [1966, глава 2],
Nayfeh, Mook [1979] и другие провели исчерпывающий учет всех возможных
случаев. Например, если критическая точка функции V невырождена (по
второй производной), то неподвижная точка является либо гиперболическим
седлом, либо центром. Если же главный член в разложении V по формуле
Тейлора имеет третий или более высокий порядок, то неподвижная точка
