Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей - Гукенхеймер Дж.
ISBN 5-93972-200-8
Скачать (прямая ссылка):
а-пределъное множество плоского потока, не содержащее неподвижных точек,
является замкнутой орбитой.
Доказательство этого утверждения можно найти в Hirsch, Smale [1974, стр.
248] или в Андронов и др. [1966, стр. 361].
Данный результат поможет установить существование замкнутых орбит, в
частности, в следующем упражнении.
УПРАЖНЕНИЕ 1.8.2. При помощи теоремы Пуанкаре-Бендиксона докажите, что
осциллятор Ван дер Поля х + е(х2 - 1)х + х = 0 имеет хотя бы одну
замкнутую орбиту. (Сначала постройте "гнездо" из двух кривых С\, С2 так,
чтобы поток пересекал С\ снаружи, а С2 - изнутри.)
Доказательство единственности в данном примере значительно сложнее, за
исключением случая е <С 1 (см. например, Hirsch, Smale, глава [1974,
глава 10]). Однако если векторное поле таково, что С\ и С-> ограничивают
некоторое узкое кольцо R, то можно доказать единственность, установив
df дд " ,,
знакопостоянство величины -- + в R. Мы приведем пример такого
ох оу
типа в первом разделе второй главы.
Следующий результат в определенных случаях позволяет установить
отсутствие замкнутых орбит.
Теорема 1.8.2 (критерий Бендиксона). Если в некоторой односвязной
области D С М2 выражение ^ не равно нулю тождественно и не
изменяет знака, то уравнение (1.8.1) не имеет замкнутых орбит, целиком
лежащих в D.
Доказательство. Данный результат является простым следствием теоремы
Грина, так как на любой фазовой кривой уравнения (1.8.1) выполня-
70
Глава 1
ется -^ откуда следует, что для любой замкнутой орбиты 7
ах j
J(f(x, у) dy - д(х, у) dx) = 0.
7
Вследствие теоремы Грина
//(1+|)^=°- (1-ад
S
О f до
где S - внутренность 7. Однако если -^ + - > 0 (или < 0) на D, то
(/(Г С/ U
мы не сможем найти такую область S С D, чтобы (1.8.3) выполнялось.
Следовательно, замкнутых орбит, целиком лежащих в D, не существует.
¦
УПРАЖНЕНИЕ 1.8.3. Найдите условия, достаточные для отсутствия замкнутых
орбит у системы х + ах + (Их + х2х + х3 =0. Являются ли эти условия также
необходимыми?
В Андронов и др. [1966, стр. 305] приведен критерий Дюлака, обобщение
критерия Бендиксона.
Мы уже встречали примеры других предельных множеств двумерных потоков, в
дополнение к неподвижным точкам и замкнутым орбитам, в разделе 1.6. В
действительности, все возможные неблуждающие множества для потоков на
плоскости принадлежат к одному из следующих трех классов (Андронов и др.
[1966], § VI.2):
(i) неподвижные точки;
(ii) замкнутые орбиты;
(iii) совокупности неподвижных точек и соединяющих их траекторий1.
Вышеупомянутые траектории называются гетероклинными орбитами, если они
соединяют разные точки, и гомоклинными орбитами, если они соединяют
некоторую точку саму с собой2. Замкнутые пути, образованные
гетероклинными орбитами, называются гомоклинными циклами. Заметим, что
неподвижные точки, входящие в такие циклы, должны быть седловыми (если
они гиперболичны), так как источники и стоки всегда имеют в своей
окрестности блуждающие точки. Некоторые примеры таких предельных
И. е. траекторий, асимптотически приближающихся к этим точкам при / ->
±оо. - Прим. перев.
2В русскоязычной литературе обычно используют для двумерных систем термин
"сепара-
триса". - Прим. ред. перев.
1.8. Двумерные потоки
71
с)
d)
Рис. 1.8.1. Некоторые предельные множества для потоков на плоскости: (а)
гомокли-ническая орбита или седловая петля; (Ь) двойные седловые петли;
(с) гомоклиниче-ские циклы, образованные гетероклиническими орбитами; (d)
ленты периодических орбит.
множеств показаны на рис. 1.8.1. Позднее в этой книге мы познакомимся с
конкретными системами, обладающими такой динамикой.
УПРАЖНЕНИЕ 1.8.4. Все примеры плоских потоков на рис. 1.8.1 структурно
неустойчивы. Почему? (Подсказка: в случаях (а)-(с) попытайтесь добавить
малое возмущение вблизи гомоклинных циклов.)
Для потоков на неплоских двумерных многообразиях, таких как тор, могут
существовать предельные множества, не являющиеся ни замкнутыми орбитами,
ни предельными точками или гомоклинными циклами. В частности,
иррациональный линейный поток, порождаемый векторным полем
имеет всюду плотную орбиту, так что любая точка на Т2 - неблуждающая.
Несмотря на кажущуюся искусственность этого примера, впоследствии мы
увидим, что он возникает естественным образом при изучении связанных
осцилляторов.
в = 1
{в, ф) G Т2
ф = тт,
(1.8.4)
72
Глава 1
Таким образом, глобальная структура фазовых кривых для двумерных потоков
обычно гораздо богаче по сравнению с одномерными системами, в которых
периодических орбит нет, а неподвижные точки упорядочены и соединяются со
своими непосредственными соседями и только с ними. Существование таких
гетероклинных соединений в системах более высокой размерности зависит от
соотношения размерностей устойчивых и неустойчивых многообразий соседних
неподвижных точек; в любом случае отыскать такие соединения, как правило,
очень трудно, если только система не обладает особой симметрией или
другими свойствами. Наш первый главный пример иллюстрирует этот момент, а
