Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей - Гукенхеймер Дж.
ISBN 5-93972-200-8
Скачать (прямая ссылка):
возмущение, которое приводит к образованию изолированной неподвижной
точки эллиптического либо седлового (гиперболического) типа вблизи
начала. Очевидно, обе этих системы структурно неустойчивы по отношению к
произвольным возмущениям класса Сг. В данной книге мы основное внимание
уделяем диссипативным системам, обсуждая особые свойства гамильтоновых
систем лишь в разделе 4.8.
УПРАЖНЕНИЕ 1.7.1. Покажите, что векторные поля х = -х, х = -Ах и х = -х3
топологически эквивалентны. Какие из них структурно устойчивы? Выпишите
явные формулы для гомеоморфизмов, устанавливающих соответствия между
орбитами.
1.7. Отношения эквивалентности и структурная устойчивость
67
УПРАЖНЕНИЕ 1.7.2. Какие из следующих систем структурно устойчивы во
множестве всех систем размерности один (или два)?
(.а (с (е (9 (* (,к
х = ж;
(Ъ) X = ;
х = sin ж; (d) ж = sin ж;
ж + 2ж + ж = 0; (/) ж + ж2 + ж = 0;
ж + ж + ж3 = 0; (h) ж + (ж2 - 1)ж + ж = 0;
= 1,^ = 2; (в,ф)еТ2- Ц)9 = \,ф = щ (в, ф) ?Г2;
= 2- sin в,ф = 1; (в,ф) ? Г2; (() 0 = 1 - 2sin0,<?= 1; (6",^6) G Г2.
(Критерии для определения структурной устойчивости потоков размерности
один и два обсуждаются в двух следующих разделах.)
Приложение к разделу 1.7: о С^-эквивалентности
Здесь мы покажем, что для двух Ск-эквивалентных систем (к ^ 1),
линеаризованных в соответствующих неподвижных точках, собственные
значения пропорциональны.
Пусть поля X и Y С^-орбигно эквиваленты, тогда существует диффеоморфизм
h: М" -> М" класса Ск, "переводящий" систему х = Х(х) в систему у = Y(y),
т. е. у = h(x) и
Dh(x)X(x) = T(h(x))Y (h(x)), (1.7.11)
где т: М" -> К - положительная скалярная функция, обеспечивающая
со-
гласование параметризации по времени.
Допустим теперь, что х = р - неподвижная точка для потока X, тогда у = q
= h(p) - неподвижная точка для Y. Дифференцируя (1.7.11), получим
D2h(x)X(x) + Dh(x)DX(x) =
= DT(h(x))Dh(x)Y (h(x)) + r(h(x))DY (h(x))Dh(x)
(если к = 1, выражение слева следует заменить пределом отношения). Так
как Х(р) = Y(q) = 0, отсюда получаем:
Dh(p)DX(p) = T{q)DY(q)Dh(p), (1.7.12)
или
DX(p) =T{q)Dh(p)~lDY{q)Dh{p). (1.7.13)
Следовательно, матрицы DX (р) и DY(q) подобны, с точностью до масшта-
бирующего коэффициента r(q). Следовательно, отношения собственных
значений сохраняются. (Если изменение параметризации не допускается, то
матрицы DX (р) и DY (q) подобны в обычном смысле.)
68
Глава 1
1.8. Двумерные потоки
В данном разделе дается обзор некоторой части теории двумерных потоков.
Теорема о жордановой кривой, а также тот факт, что фазовые кривые
одномерны, существенно ограничивают диапазон возможных типов решений на
плоскости. Поэтому плоские системы довольно хорошо изучены. Тем не менее,
читатель должен понимать, что здесь представлены только избранные из
многочисленных результатов. Андронов с соавторами [1966, 1971, 1973]
посвятили данному вопросу намного более тысячи страниц, дальнейшие
подробности можно найти в Lefschetz [1957]. Многочисленные примеры
двумерных систем, встречающихся в инженерных и физических задачах,
приведены в Андронов и др. [1966], а также в книгах Minorsky [1962],
Хаяси [1964] и Nayfeh, Mook [1979]. Здесь рассмотрены некоторые
специальные типы систем и приведен ряд классических, а также менее
известных примеров, которые подготовят нас к последующему материалу.
Системы на двумерных многообразиях, отличных от R2, более сложны и могут
обладать удивительно тонкой динамикой. Поэтому впредь в данной главе мы
будем иметь дело лишь с плоскими системами, ограничиваясь несколькими
заключительными примерами систем на цилиндрах и торах.
Пусть дана система дифференциальных уравнений
где f,g - (достаточно гладкие) функции, описывающие некоторую физическую
модель. При исследовании системы (1.8.1) обычно сначала находят
неподвижные точки, в которых f(x,y) = д(х,у) = 0. Линеаризуя (1.8.1) в
одной из таких точек (х, у), получим
Если собственные значения матрицы Df(x, у) имеют ненулевые вещественные
части, то решение линейной системы (1.8.2) ?(f) = etD^x'^?(0) не только
определяет локальное асимптотическое поведение, но и описывает, в
соответствии с теоремой Хартмана и теоремой об устойчивом многообразии,
локальную топологическую структуру фазового портрета. Как показывает
следующий пример, требование отсутствия нулевых собственных значений
существенно.
1.8. Двумерные потоки
69
УПРАЖНЕНИЕ 1.8.1. Изобразите фазовый портрет следующих нелинейных
осцилляторов и соответствующих им линеаризованных систем. (Вам может
понадобится прочесть нижеследующий обзор методов анализа двумерных
систем.)
(а) х + е\х\х + х = 0; е < 0, е = 0, е > 0;
(&) х + х + ех2 =0; е < 0, е = 0, е > 0.
После нахождения неподвижных точек и исследования их устойчивости
(возможно, используя в случае негиперболических точек локальные функции
Ляпунова), мы захотим проверить существование у системы (1.8.1)
периодических орбит. При этом полезны следующие два результата.
Теорема 1.8.1 (Пуанкаре-Бендиксона). Всякое непустое компактное to- или
