Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гукенхеймер Дж. -> "Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей" -> 23

Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей - Гукенхеймер Дж.

Гукенхеймер Дж., Холмс Ф. Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей — М.: Институт компьютерных исследований, 2002. — 560 c.
ISBN 5-93972-200-8
Скачать (прямая ссылка): nelineyniekolebaniya2002.djvu
Предыдущая << 1 .. 17 18 19 20 21 22 < 23 > 24 25 26 27 28 29 .. 199 >> Следующая

узлами, вырожденными узлами и фокусами: например, двумерные линейные
векторные поля с матрицами
'-1 o' -1 1 '-3 -1
0 -2 1 0 -1 И 1 -3
порождают потоки, С°-эквивалентные потоку узла с матрицей
-1 О О -1
(1.7.3)
Ясно, однако, что с точки зрения С0-эквивалентности стоки, седла и
источники различаются.
В качестве следующей иллюстрации структурной устойчивости потоков и
отображений рассмотрим двумерное линейное дифференциальное уравнение
х = Ах, х ? К2 (1-7.4)
и отображение
х н-> Вх, х 6
(1.7.5)
Допустим в первом случае, что А не имеет собственных значений с нулевой
вещественной частью, а во втором случае - что В не имеет собственных
значений, по модулю равных единице. Мы утверждаем, что при выполнении
этих условий обе системы структурно устойчивы.
Рассмотрим малое возмущение системы (1.7.4):
х = Ах + sf(x)
(1.7.6)
где функция / имеет компактный носитель. Так как А обратимо, то, по
теореме о неявной функции, уравнение
Ах + ef(x) = О
(1.7.7)
для достаточно малых значений ? имеет единственное решение х = 0(e)
вблизи точки х = 0. Кроме того, так как собственные значения матрицы
линеаризованной системы
i=[A + eDf(x)]?
1.7. Отношения эквивалентности и структурная устойчивость
65
непрерывно зависят от е, они не могут пересечь мнимую ось, если величина
с остается малой по сравнению с вещественными частями собственных
значений матрицы А. Таким образом, возмущенная система (1.7.7) имеет
единственную неподвижную точку с собственными пространствами и
инвариантными многообразиями, имеющими те же размерности, что и
невозмущенная система и локально ?-близкими по положению и градиенту к
невозмущенным многообразиям. Такие же наблюдения применимы к дискретной
системе (1.7.5) и соответствующему малому возмущению
В обоих случаях задача состоит в отыскании гомеоморфизма, переводящего
орбиты линейной системы в орбиты возмущенной нелинейной системы. В
частности, для дискретной системы мы должны доказать, что существует
такой гомеоморфизм h, что следующая диаграмма коммутативна:
Для потока следует заменить В на etl А, а В+ед - на поток фь, порождаемый
векторным полем (1.7.7) (в данном случае они сопряжены).
Дальнейшее доказательство, по существу, совпадает с доказательством
теоремы Хартмана (см. Pugh [1969] или Hartman [1964, глава 2]).
Очевидно, векторное поле (или отображение), имеющее негиперболическую
неподвижную точку, не может быть структурно устойчивым, так как малое
возмущение может привести к исчезновению такой точки (если матрица
линеаризованной системы необратима ввиду наличия нулевого собственного
значения) или к превращению ее в гиперболический сток, седло или источник
(если эта матрица имеет чисто мнимые собственные значения). Подобные
рассуждения применимы и к периодическим орбитам, поэтому мы вправе
сформулировать такое важное требование к структурно устойчивым потокам
или отображениям: все неподвижные точки и замкнутые орбиты должны быть
гиперболическими. Однако, как мы увидим ниже, одного этого условия
недостаточно, чтобы гарантировать структурную устойчивость, так как в
игру могут вступить более тонкие, глобальные эффекты.
Структурно устойчивые системы достаточно "приятны" в том смысле, что для
такой системы любая достаточно близкая к ней система обладает теми же
качественными свойствами. Однако, как мы увидим, поведение структурно
устойчивых систем для потоков размерности три и более
х н-> Вх + ед(х).
(1.7.8)
К'
2
В
2
h
h
2
66
Глава 1
или для диффеоморфизмов размерности два и более может быть предельно
сложным. Будет также выяснено, что структурная устойчивость не является
даже типичным свойством в том смысле, что мы можем найти структурно
неустойчивую (и сложную) систему, которая остается неустойчивой при малых
возмущениях, при этом непрерывно изменяя свой класс топологической
эквивалентности. Мы встретим первые примеры таких систем в главе 2.
Мы не определили и не обсудили здесь понятие типичных свойств, так как
для этого требуется оперировать терминологией функциональных пространств.
Заинтересованные читатели смогут познакомиться с этим вопросом в
Chillingworth [1976] или Hirsch, Smale [1974].
В завершение этого раздела мы хотим подчеркнуть, что определение
структурной устойчивости зависит от класса систем, с которым мы имеем
дело. В нашем основном определении мы считали допустимыми все С1, ?
возмущения векторных полей класса Сг в R". Если мы ограничиваемся
некоторым подмножеством, скажем, гамильтоновыми векторными полями класса
Сг в R2, то ситуация меняется. Так, линейная система
х = у у = -и>АХ, U) Ф О
d-7-9)
обладает эллиптической точкой (центр) (х,у) = (0,0), окруженной
непрерывным семейством негиперболических замкнутых орбит и является
устойчивой по отношению к возмущениям из данного подмножества. Напротив,
система
х = у.
. ' (1.7.10)
У = о
обладает прямой вырожденных неподвижных точек (ось х) и не является
структурно устойчивой, так как мы можем найти такое гамильтоново
Предыдущая << 1 .. 17 18 19 20 21 22 < 23 > 24 25 26 27 28 29 .. 199 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed