Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гукенхеймер Дж. -> "Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей" -> 22

Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей - Гукенхеймер Дж.

Гукенхеймер Дж., Холмс Ф. Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей — М.: Институт компьютерных исследований, 2002. — 560 c.
ISBN 5-93972-200-8
Скачать (прямая ссылка): nelineyniekolebaniya2002.djvu
Предыдущая << 1 .. 16 17 18 19 20 21 < 22 > 23 24 25 26 27 28 .. 199 >> Следующая

Опишите а- и ш-предельные множества для типичных точек внутри и вне
окружности г = 1 в верхней и нижней полуплоскостях.
УПРАЖНЕНИЕ 1.6.7. Постройте пример двумерного потока с аттрактором, не
содержащим неподвижных точек или замкнутых орбит. (Подсказка: рассмотрите
линейное преобразование тора Т2 = R2/Z2, заданное векторным полем в = а,
Ф = Р-)
62
Глава 1
Заметим, что мы не указывали, что аттрактор должен быть устойчивым по
отношению к малым возмущениям векторного поля или отображения. Хотя это
требование включено во многие предшествующие определения, в ряде
примеров, рассматриваемых в этой книге, таких структурно устойчивых
аттракторов почти наверняка не существует. Тем не менее, понятие
структурной устойчивости играет важную роль в теории динамических систем,
и именно к нему мы сейчас обратимся.
1.7. Отношения эквивалентности и структурная устойчивость
Понятие "робастной" или "грубой" системы касается сохранения качественных
свойств при наличии малых возмущений или изменений ее правых частей -
впервые встретилось в работе Андронова и Понтрягина [1937]. Очень хорошо
эти понятия изложены для случая векторных полей на плоскости в учебнике
по нелинейным колебаниям Андронова и др. [1966]. В пятой главе мы
подвергнем сомнению бытующее мнение о том, что грубость, или структурная
устойчивость, является существенным свойством моделей физических систем,
однако, так как это понятие сыграло столь значительную роль в развитии
теории динамических систем, мы кратко обсудим его здесь. Сначала обсудим
понятие возмущения отображений и векторных полей.
Пусть дано некоторое отображение F ? Cr{R"), мы хотим установить, что
следует понимать под его возмущением G. Интуитивно, G должно быть
"близким" к F, однако при создании пригодного для работы определения
возникают спорные технические вопросы. Мы отсылаем читателя к работе
Hirsch [1976], содержащей подробное обсуждение функциональных пространств
и их топологий. Поскольку в данной книге функциональные пространства не
используются, мы дадим следующее определение, достаточное для обсуждения
структурной устойчивости.
Определение 1.7.1. Пусть F ? Сг(М.п), г, к ? Z+, к < г и е > 0. Назовем G
возмущением класса Ск и величины е > 0, если существует такое компактное
множество К С М", что F = G на множестве II" - К и для всех таких (гi, ..
., in), для которых i\ + ... + in = i ^ к выполнено неравенство \(д1/дх\1
... dxlr[l)(F - G) < е.
Отметим, что в этом определении функции F и G могут быть как векторными
полями, так и отображениями.
Теперь, когда мы можем говорить о "близости" отображений или векторных
полей, рассмотрим вопросы топологической эквивалентности и структурной
устойчивости.
1.7. Отношения эквивалентности и структурная устойчивость
63
Определение 1.7.2. Два отображения F, G класса Сг называются Ск-
эквивалентными или Ск-сопряженными (к ^ г), если существует такой Ск-
диффеоморфизм h, что h о F = G о h. ^-эквивалентность называется также
топологической эквивалентностью.
Из этого определения следует, что h переводит орбиту {Fn(x)} в орбиту
{Gn(x)}. Понятие орбитной эквивалентности нужно нам и для случая
векторных полей.
Определение 1.7.3. Два векторных поля /, д класса Сг называются Ск-
эквивалентными (к ^ г), если существует С^-диффеоморфизм h, переводящий
орбиты ф{ (х) поля / в орбиты <fi9t (х) поля д и сохраняющий их
ориентации, но не обязательно сохраняющий параметризацию по времени. Если
h сохраняет параметризацию по времени, то это влечет сопряженность.
Из определения эквивалентности следует, что для любых х и И найдется
такое 72, что
к4Лх)) = ФицХ)). (1.7.1)
Одной из причин несохранения в общем случае параметризации является то,
что периоды замкнутых орбит двух потоков могут различаться.
Теперь мы подошли к главному определению.
Определение 1.7.4. F е Сг(М.п) (соответственно, векторное поле / класса
Сг) называется структурно устойчивым, если существует такое е > 0, что
любое возмущение F (соответственно, /) класса С1 и величины s
топологически эквивалентно F (соответственно, /).
На первый взгляд, использование С'°-эквивалентности может показаться
слишком грубым, и возникает искушение заменить ее на Ск-эквивалентность,
где к > 0. Однако такое требование было бы излишне жестким, так как из
него следует, что для неподвижных точек р и q = h{p) эквивалентных
отображений fug собственные значения линеаризованных систем ? = D/(p)? и
г) = Dg(q)r] должны быть пропорциональны друг другу (мы докажем это
утверждение в дополнении к данному разделу). Например, линейные системы
'х\ _ [1 0' у - 0 1
1 0 0 1 +
у) (1-7.26)
не будут (^-эквивалентными ни для каких ? ^ 0 и к ф 1. В этом примере
отсутствие дифференциальной эквивалентности очевидно, поскольку
64
Глава 1
в первом случае фазовые кривые задаются графиками вида у = С\х, а во
втором - вида у = С2\х\1+?. Любая такая пара кривых с постоянными С\. С>
/ 0 недиффеоморфна в начале координат.
Заметим, что гомеоморфная эквивалентность не делает различий между
Предыдущая << 1 .. 16 17 18 19 20 21 < 22 > 23 24 25 26 27 28 .. 199 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed