Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей - Гукенхеймер Дж.
ISBN 5-93972-200-8
Скачать (прямая ссылка):
точки р [У-УУх!.
притягивающее множество как
А = р|<МЯ)-
t^o
Замкнутое множество А является притягивающим множеством для отображения
G, если оно обладает некоторой окрестностью U такой, что Gn(U) -> А при п
-> оо. Как и в случае потоков, если D - область захвата (G(U) С U), то
соответствующее притягивающее множество таково:
А= р| Gn{D).
п^О
Во второй главе мы используем это понятие при исследовании некоторых
проблем.
УПРАЖНЕНИЕ 1.6.2. Покажите, что поток системы
/ 2 , 2\ 2
х - (i\x - х{х + у ) - ху , 2
, 2 | 2n 2 (Ж1 1/) С (r)
У = Р2у -у{х +у ) - ух ,
обладает для всех конечных значений pi, рг областью захвата. Найдите
неподвижные точки и обсудите их устойчивость. Покажите, что для pi = рг >
0 линия х = у разделяет две различные области притяжения. (Подсказка:
возьмите в качестве D замкнутый круг х2 + у2 ^ с для больших с.)
УПРАЖНЕНИЕ 1.6.3. Покажите, что существует трехмерный эллипсоид Е вида
рх2 + ay2 + a(z - 2р)2 ^ с < оо такой,
что при подходящем выборе констант а, (3, р все решения
уравнений Лоренца
х - а(у - х), у = рх - у - xz, z - - [3z + ху
60
Глава 1
входят в Е за конечное время, а затем остаются в Е (см. Sparrow [1982],
приложение С).
УПРАЖНЕНИЕ 1.6.4. Рассмотрим систему
"з
(х,у) е :
У = -у,
Найдите неблуждающее множество Q, а также а- и щ-предельные точки для
типичных точек х 6 R2. Покажите, что отрезок [-1,1] оси х является
притягивающим множеством, хотя большинство его точек блуждающие. Где, по
вашему мнению, заканчивается большинство орбит?
Последняя задача должна послужить мотивацией для разработки определения
аттрактора как притягивающего множества, содержащего плотную орбиту.
Аналогично определяется репеллер. Таким образом, в упражнении 1.6.4
имеется два различных аттрактора: точки (±1,0). Как мы увидим в пятой
главе, очень трудно показать в примерах существование плотной орбиты, и
на самом деле многие построенные численно "странные аттракторы" могут
быть не истинными аттракторами, а только притягивающими множествами, так
как они могут содержать устойчивые периодические орбиты. Мы впервые
встретим такие примеры во второй главе.
Пример Рюэлля [1981] показывает, что даже для одномерных потоков
притягивающие множества могут быть очень сложными. Рассмотрим систему
х = -х4 sin , (1.6.5)
имеющую счетное множество неподвижных точек х = 0, ±1 /п, п = = 1, 2, ...
Отрезок [-1,1] является притягивающим множеством, которое содержит
отталкивающие неподвижные точки ±l/2n, п = 1, 2, . .. и притягивающие
неподвижные точки ±1/(2п - 1), п = 1, 2, ..., что можно проверить,
рассматривая линеаризованное векторное поле
(-±E3sin(§) +7ГХ2 cos(|))
= -г COS 7ТТ1. (1.6.6)
х=±\/п п
Однако неподвижная точка х = 0 не является ни репеллером, ни аттрактором.
Conley [1978] дал определение "квазиаттрактора", охватывающее примеры
этого типа1.
1 Термин "квазиаттрактор" был использован В. А. Афраймовичем и J1. П.
Шильниковым при изучении с нерегулярными аттракторами [5, 21]. - Прим.
ред. перев.
1.6. Асимптотическое поведение
61
УПРАЖНЕНИЕ 1.6.5. Опишите множество неподвижных точек отображения
X ? [-1, 1]
1П
Рис. 1.6.3. Плоский фазовый портрет для усредненного уравнения ван дер
Поля.
f-.x^ \х\а, для а<0, а = 0 и а > 0.
Следующий пример может помочь проиллюстрировать некоторые понятия данного
раздела.
При анализе уравнения Ван дер Поля со слабым возбуждением, который будет
намечен в первом разделе второй главы, возникает фазовый портрет,
показанный на рис. 1.6.3. Ясно, что замкнутая кривая 7 U {р}, включающая
неподвижную точку р, представляет собой притягивающее множество, однако
точка р не является ни аттрактором, ни репеллером, так как она
одновременно играет роль а- и ^-предельной точки для всех точек г ? 7. В
действительности 7 заполнена блуждающими точками, и неподвижные точки р и
q являются единственными компонентами неблуждающего множества. Ввиду
существования в притягивающем множестве 7 U {р} замкнутой орбиты она
действительно является аттрактором, однако ясно, что в отсутствие
возмущений все решения, за исключением имеющего базу в q, стремятся к р
слева при -> +оо. Этот пример, среди прочих, должен служить
предупреждением, что наше определение аттрактора не очень подходит для
физических приложений, поэтому мы модифицируем его в пятой главе в свете
примеров, возникающих из физических задач.
Этот пример также демонстрирует необходимость включения требования 4>t{x)
? U для всех t ^ 0, х ? U, так как существуют орбиты, стартующие справа
от р и покидающие окрестность точки р лишь временно, возвращаясь в нее
окончательно при i -> оо. Читатель должен сравнить это требование с
нашими определениями локального устойчивого и неустойчивого многообразий
из раздела 1.3.
УПРАЖНЕНИЕ 1.6.6. Покажите, что окружность г = 1 является притягивающим
множеством для потока, порождаемого векторным полем
г = г - г3, в = 1 - cos 2в.
Какое из положений равновесия является аттрактором и какое - репеллером?
