Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей - Гукенхеймер Дж.
ISBN 5-93972-200-8
Скачать (прямая ссылка):
f</>п\ ( Фо cos(27ra) + ^ sin(27ra) \
?>Ро(0,0) V V ' а [ 7 (1.5.26а)
\v°/ афо sin(27ra) + vq cos(2na) J
\V°J 2 V(o;0o + "o)e27r" - (аф0 - v0)e 2жа)
Таким образом, линеаризованные операторы таковы:
DP0( 0,0)
cos(27ra) ^ sin(27ra) -asin(27ra) cos(27ra)
(1.5.27a)
DPo(tt,0) =
ch(27ra) - sh(27ra)
ash(27ra) ch(27ra) Собственные значения этих матриц равны
А?,2 = cos(27ra) ± isin(27ra) = е±г2жа
(1.5.27 6)
(1.5.28а)
и
\ж2 = ch(27ra) ± sh(27ra) = е±2жа. (1.5.286)
Мы приходим к выводу, что орбита (0,0,6(t)) нейтрально устойчива, с
собственными значениями на единичной окружности, а орбита (тт, 0, т)
седлового типа с одним собственным значением внутри и с одним вне
единичной окружности. Заметим, однако, что если а = п/2; п = 0, 1, 2, . .
., оба собственных значения нейтрально устойчивой орбиты равны 1 или -I.1
Мы вернемся к этому ниже.
1В зависимости от четности п. - Прим. перев.
54
Глава 1
Теперь обратимся к более интересному случаю /3^0. Как хорошо известно,
общее решение системы (1.5.24) можно записать как
где хг(Ф) и x2(t) - два линейно независимых решения. Таким образом, X(t)
= [х1 (t), х2 (t)\ - матрица фундаментальных решений. Линеаризованное
отображение Пуанкаре можно получить как
Теперь перед нами стоит задача вычисления некоторой пары линейно
независимых решений, которая решалась во многих классических учебниках
при помощи специальных функций (функций Матье), получаемых из решений в
виде рядов, или методами возмущений (см. Nayfey, Mook [1979]). Вместо
того чтобы повторять этот анализ, мы выведем одно интересное свойство
собственных значений матрицы DPp и используем его для исследования
устойчивости решений для малых /3^0. Выберем такую пару независимых
решений xl(t), x2(t), чтобы
где X (t) = - линеаризованный поток. Мы утверждаем, что определи-
тель матрицы DРр (вронскиан решений х1, х2) равен для нашей системы
единице. Для доказательства рассмотрим определитель линеаризованного
потока D(pt\
(1.5.29)
DPP=X{ 2л)Х-!(0),
(1.5.30)
так как, используя (1.5.29), мы имеем
и
(1.5.31)
Тогда мы имеем
(1.5.32)
Д = det(390t) = ф1у2 - ф2У1,
dX У1 2 I ,1-2 12 1 ,2-1 .1-2 ,2-1
- = Ф V + фу -фу - ф V = ф V - ф V =
(1.5.33)
= ф1 [±(о:2 + /3 cos i)02] - ф2\±(а2 + /3 cost)^1] = 0.
1.5. Замкнутые орбиты, отображения Пуанкаре.
55
Таким образом, Д сохраняет свое значение. Полагая t = 0 и учитывая, что
получим Д = 1. Следовательно, также det DPp = detO^*- = 1 и
(линеаризованное) отображение Пуанкаре сохраняет площадь. Собственные
значения матрицы (1.5.32) равны
Таким образом, в случае /3 ф О, как и в случае /3 = 0, собственные
значения либо комплексно сопряжены и имеют ненулевые мнимые части, либо
вещественны и взаимно обратны, либо кратны и равны +1 или -1.
Допустим теперь, что /3 возрастает от нуля, тогда собственные значения
DPp изменяются непрерывно, стартуя с собственных значений матрицы DPq, и
мы получаем следующий результат.
Предложение 1.5.1. Периодическая орбита (0,0,0(t)) нейтрально устойчива
для достаточно малых значений ф ф {) при условии, что афп/% п € Z.
Периодическая орбита (ж, 0,6(t)) имеет седловой тип для достаточно малых
/3 Ф 0 и всех а ф 0.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Второе утверждение легко доказать, так как если а < 0, то
собственные значения матрицы DPq(ty, 0) равны е~27ГС* > 1, е2тга < а с
изменением /3 собственные значения матрицы DPp(n, 0) изменяются
непрерывно. Следовательно, мы можем выбрать такое /Зо > 0, что для всех 0
< /3 < /Зо матрица DPp(n, 0) имеет собственные значения 1/А/з < 1 <
Доказательство первого утверждения проводится подобным образом, но мы
должны исключить критические значения а = 1 ч
= 0, -, 1, |, .. ., так как для них собственные значения матрицы DPq (л,
0)
равны ±1 и друг другу, и мы не можем знать, как они расщепляются при
возрастании /3 от нуля. Разумеется, эти критические значения совпадают с
условиями резонанса, известными из учебников о линейном параметрическом
возбуждении (см. Nayfeh, Mook [1979]). ¦
1 ч
Заметим, что когда а = • • • и М,2 = -1, собственные
значения
могут при /3 ф 0 расщепиться и принять вид - А/з < -1 < "1/Лз, >
0.
Как мы увидим в третьей главе, для такой бифуркации отображения Пуанкаре
типично возникновение орбиты удвоенного периода. Здесь, к примеру,
Ai,2 = а ± \/а2 - 1, а = |(01(27г) + г>2(27г)),
(1.5.34)
и мы получаем
А1А2 = 1.
(1.5.35)
56
Глава 1
неустойчивость, обусловленная второй субгармоникой (Т = A-к), возникает
при /3 > 0 и а =
Параметрический резонанс в гамильтоновых системах с периодическим
возбуждением подробно рассмотрен Арнольдом [1974, § 25]. Он также
действовал в терминах отображений Пуанкаре.
УПРАЖНЕНИЕ 1.5.6. Рассмотрим систему
<i> = v,
v = - (а2 + [Зсоъ?)ф - jv,
где параметр демпфирования 7 > О фиксирован. Используя аргументацию,
аналогичную приведенной выше, покажите, что решение (ф, v) = (0, 0)
асимптотически устойчиво для всех а и достаточно малых []. (Подсказка:
сначала покажите, что в данном случае det DPp = e~2nl.)
