Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей - Гукенхеймер Дж.
ISBN 5-93972-200-8
Скачать (прямая ссылка):
дифференциального уравнения, это отображения нельзя вычислить, не обладая
общим решением этого уравнения. Однако, как мы увидим в главе 4, при
помощи методов теории возмущений и усреднения
Данное утверждение очевидно, так как переменная в измеряется по модулю Т.
В применении лишь к первому из уравнений системы, оно, вообще говоря,
неверно. - Прим. пер.
50
Глава 1
в определенных случаях можно строить отображение приближенно, и ценная
информация может быть, таким образом, получена при параллельном
использовании обычных методов с геометрическим подходом теории
динамических систем.
Теперь рассмотрим два примера из теории колебаний.
Линейные вынужденные колебания
Начнем с задачи, для которой можно найти общее решение и вычислить
отображение Пуанкаре в явной форме. Рассмотрим систему
х + 2[3z + х = 7С0scot: 0 < /3 < 1,
(1.5.16)
или
0 1
-1 -2/3
+
0
7 cos сов I '
= 1.
(1.5.17)
Здесь внешняя сила имеет период Т = 2-к/со. Так как система линейна, ее
решение легко находится обычными методами (см. Braun [1978]):
x(t) = е 131 (с\ cos соdt + С2 sin соdt) + A cos cot + В sin cot,
(1.5.18)
где LOd = y/l - /32 - собственная частота затухающих колебаний, а
коэффициенты частного решения А, В даются формулами
А =
(1 -oj2) 7
2, ,2п
[(1 - to2)2 + 4/32а;
В
2(Зсо^
(1 - со ) + 4/5
2, ,21'
(1.5.19)
Константы ci, С2 определяются из начальных условий. Полагая х = = 27 = хм
и х = Х2 = Х20 при t = 0, имеем
ж(0) = х10 = ci + А, ) [ а = х10 -А,
,ы"
х(0) = х20 = ~/Зсг+codc2 + со в J ' [с2 = (х20 +/3(х10 - A)-coB)/cod
(1.5.20)
Таким образом, поскольку </7(270, 2120,0) задается формулой (1.5.18) и
X2(t) = 27 (t) = е Р*{- /3(ci coscodt + С2 sinwdt) +
+ cod (-ci sin codt + C2 cos codt)} - со (A sin cot - В cos cot),
1.5. Замкнутые орбиты, отображения Пуанкаре.
51
мы можем вычислить отображение Пуанкаре явно как тт ¦ ф2тг/ш(хю, х20,0).
В случае резонанса и = Ud = \/l - (i2 получаем
P{xw,X2o) = ((х10 - А)е~2ж13/ш + А, (х2о ~ соВ)е~2ж13/ш +loB). (1.5.21)
Как и ожидалось, отображение имеет притягивающую неподвижную точку
(х1,Ж2) = (А, и В) или ci = С2 = 0. Отображение, конечно, линейно, и,
поскольку матрица
~dPi dPi
дхю дх2о дР2 дР2 _дхю дх2о
диагональна с равными собственными значениями, орбиты Р приближаются
радиально к точке [А, и>В), см. рис. 1.5.3.
Рис. 1.5.3. Отображение Пуанкаре для уравнения линейного осциллятора.
УПРАЖНЕНИЕ 1.5.4. Вычислите отображение Пуанкаре для линейного
осциллятора в случае, когда и ф -ф\ - [З2 = ша. Что произойдет, если /3 =
0 и си =¦ 1?
УПРАЖНЕНИЕ 1.5.5. Рассмотрите вынужденные колебания осциллятора Дуф-финга
"с отрицательной жесткостью" х + ах - х + х3 = /3 cos t, а > 0, (3 ф 0.
Покажите, что: (а) решения во все время остаются ограниченными (фг
определен глобально); (Ь) для 1 >а>|3> 0 существует ровно три
периодических орбиты периода 2-7Г, седло и два аттрактора. Обсудите
структуру устойчивого и неустойчивого многообразий этих периодических
орбит, рассматривая структуру соответствующих многообразий для
неподвижных точек отображения Пуанкаре. (Это очень трудно. Для ответа на
(а) вы должны найти замкнутую кривую, в точках которой все решения
направлены внутрь. Для решения (Ь) вы можете "возмутить" очень простой
для анализа случай (3 = 0.)
0-2-7Г/3/ш
о
= -2-7Г/3/Ш
(1.5.22)
52
Глава 1
Мы будем заниматься задачей Дуффинга более подробно в главе 2. В качестве
второго примера возьмем нелинейную систему, которую мы линеаризуем вблизи
двух равновесий.
Маятник с периодическим возмущением
Уравнение движения маятника на периодически колеблющемся основании можно
записать в виде нелинейного уравнения Матье:
ф + (а2 +/3cost) sin0 = 0; /3^0, (1.5.23а)
или
ф = ю, Л
v = - (а2 + (Зсовв) sin^, > (ф, v, в) G S1 xRxS'1(= RxT2).
(1.5.236)
0 = 1. J
Заметим, что положения равновесия (ф, v) = (0, 0) и (тт, 0) системы в
отсутствие возбуждения (J3 = 0) сохраняются при /3 ^ О.1 Таким образом,
для всех /3 мы имеем периодические орбиты (0, 0; 0(t)), (тт, 0; 0(t)),
где 6(t) = = t + to. Линеаризуя векторное поле вблизи этих орбит, получим
линейные уравнения Матье
ф = v, ф = V,
v = -(а2 + /3cos0)0, и v = (а2 + (Зсозв)ф, (1.5.24а,6)
0 = 1. 0 = 1.
соответственно, причем мы сохранили те же обозначения для переменных (ф,
v), что и в исходной нелинейной задаче.
Исследуем теперь устойчивость этих периодических орбит. При /3^0
уравнения (1.5.24) относятся к задачам теории Флоке. Если /3 = 0, мы
имеем простой маятник, и решения вблизи ф = 0 и ф = тт получаются как
общие решения линейных осцилляторов ф±а2ф = 0 соответственно:
(ф\ o f cos at \ со / sin at \
у v J 1 у-a sin ас/ z \acosat J v 7
(-"-"*)¦ {1-ъ'2ЪЬ)
1 При рф 0 указанные точки не являются состояниями равновесия. - Прим.
ред.
1.5. Замкнутые орбиты, отображения Пуанкаре.
53
Полагая (ф(0),у(0)) = (фо, "о), найдем = фо, с2 = vo/a и
к фо + vo/a ж фо-ь0/а Ci - 2 , с2 - 2
Интегрируя эти решения за период возмущения Т = 2тг, получим
линеаризованные отображения Пуанкаре
