Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей - Гукенхеймер Дж.
ISBN 5-93972-200-8
Скачать (прямая ссылка):
(гг -1) х (гг -1) можно получить, просто удаляя из eTR последние строку и
столбец. Тогда первые гг - 1 мультипликаторов Ат, ..., A"_i являются
собственными значениями отображения Пуанкаре.
Хотя матрица R в (1.5.9) не определяется решением уравнения (1.5.8)
однозначно (Хартман [1970], стр. 79), собственные значения матрицы е
однозначно определены (eTR можно заменить любой подобной матрицей
C~1eTRC). Однако для вычисления этих собственных значений нам все-таки
нужно некоторое выражение для eTR, которое можно получить лишь путем
построения некоторого множества п линейно независимых решений,
формирующих матрицу X(t). Исключая особые случаи, подобные
вышеприведенному примеру, эта задача обычно сложна и требует привлечения
методов теории возмущений или использования специальных функций.
УПРАЖНЕНИЕ 1.5.1. Повторите вышеприведенный анализ для трехмерных систем,
получаемых путем добавления к (1.5.3) сначала уравнения i = pz, затем -
уравнения i = /г - г2: рассмотрите случаи /г < 0, /г = 0 и /г > 0. Для
каждого из случаев изобразите устойчивое и неустойчивое многообразия
периодических орбит (это довольно просто).
УПРАЖНЕНИЕ 1.5.2. Найдите замкнутые орбиты для следующей системы для
различных значений yti и /гг: г = r(pi + Р2Г2 - г4), в = 1 - г2. Обсудите
их устойчивость в терминах отображений Пуанкаре. (Здесь анализ прост, так
как уравнения для г и в разделяются, в общем случае этот нетривиальный
пример вновь появится в главе 7.)
Мы видели, как векторное поле f(x) на R" порождает отображение потока
<j)t на R" и, в окрестности замкнутой орбиты, (локальное) отображение
Пуанкаре Р на некоторой трансверсальной гиперповерхности S. Другой
- постоянная матрица, см. Хартман [1970], стр. 79. - Прим. ред. перев.
48
Глава 1
(1.5.12)
важный способ получения отображения из потока используется для
неавтономных, вынужденных периодических колебаний. Рассмотрим систему
x = f(x,t); (х, t) G R" х R, (1.5.11)
где функция f(-,t) = f(-,t + T) периодична по 1 с периодом Т. Систему
(1.5.11) можно переписать как автономную за счет увеличения размерности
на единицу, добавляя время в качестве явной переменной состояния:
X = f(x, 6
0 = 1; (а;, в) ? R" х S
Фазовым пространством является многообразие F:" х S1, где круговая
компонента S1 = R. (mod Т) отражает периодичность векторного поля / по в.
Для этой задачи мы можем определить глобальное сечение
? = {(ау 0)eR"xS1 \в = в0}, (1.5.13)
так как все решения пересекают ? трансверсально ввиду равенства в = = 1 в
(1.5.12). Отображение Пуанкаре Р: ? -> ?, если оно определено глобально,
задается формулой
Р{х0) = 7г • фт(х0, в0), (1.5.14)
где cj)t: М.п х S1 -> М" х S'1 - поток системы (1.5.12), а 7г обозначает
проекцию на первый аргумент. Заметим, что здесь время движения Т
одинаково для всех точек х G ?. Другими словами, Р(хо) = х(хо, Т + 0О),
где х(хо, t) - решение (1.5.12) с базой в точке x{xq, во) = х$.
Отображение Пуанкаре можно также получить как дискретную динамическую
систему, порождаемую потоком ф(х, t) зависящего от времени векторного
поля (1.5.11). Так как / имеет период Т, мы получаем
ф(х, пТ = фп(х, Т) ^ фффх). В этом смысле отображение Р{хо)
= фт{хо)
представляет собой другой пример дискретной динамической системы типа
той, которая была рассмотрена в начале раздела 1.4.
Система
(1.5.15)
0 = 1,
с решением
ффхо, во) = ((^ - tj ,t + e^j
и отображением Пуанкаре
РЫ = - 27Г) - хо G (-00, 2
на поверхности ? = {(ж, в) \ в = 0} показывает, что Р может быть не
определено глобально. Здесь траектории потока фг с базами хо Ф 1 /(27т)
1.5. Замкнутые орбиты, отображения Пуанкаре.
49
Рис. 1.5.2. Отображение Пуанкаре для вынужденных колебаний: (а)
периодическая орбита с периодом Т и неподвижная точка р = P(t)\ (b)
субгармоника периода 2Т.
стремятся к бесконечности за время t ф 2тг. Однако l}: U ¦ Y. обычно
определено для некоторого подмножества U С Е.
Мы иллюстрируем отображение Пуанкаре для вынужденных колебаний фигурой
1.5.2. Как и в предыдущем случае, легко увидеть, что неподвижная точка р
отображения Р соответствует некоторой периодической орбите периода Т для
потока. Вдобавок, периодическая точка периода к > 1 (Рк(р) = р, но Pj(p)
ф р для 1 < j ф к - 1) соответствует субгармонике периода кТ. Здесь Рк
означает отображение Р, повторенное к раз, т. е. Р2(ро) = Р(Р(ро)), и т.
д. Разумеется, это применимо и к автономному случаю, обсуждавшемуся
ранее. Такие периодические точки всегда входят в группы из к штук: ро,
..., pf. - 1 такие, что Р(рф = Pi+i, 0 ф г ф к - 2
ир0 = Р(рк-1).
Упражнение 1.5.3. Допустим, Т - наименьший период для всех компонент /.
(a) Покажите, что периодическая орбита системы (1.5.12) может иметь лишь
период кТ с целым к}
(b) Покажите, что если п = 1, то периодические орбиты могут иметь лишь
период Т.
(c) Покажите, что отображение Пуанкаре для вынужденных колебаний
сохраняет ориентацию.
(Подсказка: воспользуйтесь единственностью решений в Rn х S1.)
Поскольку определение отображения Пуанкаре основывается на знании потока
