Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гукенхеймер Дж. -> "Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей" -> 162

Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей - Гукенхеймер Дж.

Гукенхеймер Дж., Холмс Ф. Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей — М.: Институт компьютерных исследований, 2002. — 560 c.
ISBN 5-93972-200-8
Скачать (прямая ссылка): nelineyniekolebaniya2002.djvu
Предыдущая << 1 .. 156 157 158 159 160 161 < 162 > 163 164 165 166 167 168 .. 199 >> Следующая

изображенное на рисунке 7.3.5.
Случай аз = - 1 несколько более сложен, так как здесь глобальные
бифуркации более многообразны: они включают, наряду с седловыми со-
460
Глава 7
Рис. 7.3.6. Фазовый портрет (7.3.26), е = 0.
единениями, слияния замкнутых орбит. Проведя масштабирование по формулам
(7.2.23) и полагая = +1 (для того чтобы получить нетривиальные
неподвижные точки (х,у) = 0) или (u,v) = (±1,0)), получим
си-
стему
й = V,
3 2 (7'3-26)
v = и + ev2V - и - еи v.
При е = 0 результирующая система интегрируема, она имеет гамильтониан
"2 "2 4
H(u,v) = ^-^ + ^ (7.3.27)
и фазовый портрет, изображенный на рисунке 7.3.6 (такую картину мы уже
7.3. Двойное нулевое собственное значение
461
встречали ранее!). При возмущении (двойной) гомоклинической орбиты Го,
заданной формулой
седловое соединение (двойное) будет иметь место, как несложно проверить,
для
или, в терминах исходных параметров деформации, на некоторой кривой,
касающейся прямой
в точке (/т.1, Дг) = (0, 0). Эти вычисления, дополненные стандартными
расчетами линейного приближения и бифуркации Хопфа, позволяют построить
часть бифуркационного множества и фазовые портреты, представленные на
рисунке 7.3.7.
Упражнение 7.3.8. Проверьте правильность рисунка 7.3.7 (см. упражнение
4.6.4).
Для завершения нашего анализа заметим прежде всего, что для Д2 < 0 не
существует замкнутых орбит, так как в этом случае след матрицы Якоби Df
равен Ц2 - х2 < 0, и можно применить критерий Бендиксона. Это означает,
что замкнутая орбита, окружающая все три неподвижных точки, должна каким-
то образом разрушиться на некоторой бифуркационной кривой, лежащей в
первом квадранте ниже прямой Д2 = 4/ti/5 (гомокли-ническая бифуркация),
но выше оси //о = 0. Для изучения этого явления рассмотрим
преобразованную гамильтонову систему
и ее возмущение (7.3.26) более тщательно. В дополнение к исследованию
возмущений гомоклинической орбиты Го мы должны рассмотреть также
возмущения замкнутых линий уровня функции Но, лежащих внутри и вне Го.
Для этого требуются громоздкие расчеты при помощи эллиптических функций,
результаты которых изложены (частично) в работах Takens [1974b] и Holmes,
Rand [1980], а затем были повторены и дополнены Carr [1981] и Rnobloch,
Proctor [1981]1.
(uo(t), vo(t)) = (±-\/2secht, ^-v^sechttht), (7.3.28)
(7.3.29)
(7.3.30)
и = v,
(7.3.31)
V = и - и'
,3
1См., также Арнольд [1977] и Морозов, Федоров [26]. - Прим. ред.
462
Глава 7
Рис. 7.3.7. Частичное бифуркационное множество для уравнения (7.3.22), аз
= Ьз = = - 1 и связанные с ним фазовые портреты.
Возьмем одну из этих линий уровня 7" = Н^г(а) и обозначим решение (ua(t),
va{t)), получим, аналогично (7.3.21), функцию Мельникова1
1 п
Ма(ь> 2)= j Va{t)lv2Va{t) - U2a(t)va(t)] dt = l>2 J vdu - J u2vdu,
0 -y"
(7.3.32)
где для преобразования определенного интеграла в контурный (по замкнутой
орбите 7") использовалось равенство v = du/dt. Для оценки выражения
(7.3.32) выразим v как некоторую функцию от и и а из равенства (7.3.25).
Для сохранения данной замкнутой орбиты под действием
1 Это функция Понтрягина!
7.3. Двойное нулевое собственное значение
463
R
1/4 °
Рис. 7.3.8. График R(a) с соответствующими сохраняющимися линиями уровня,
возмущений требуется, чтобы Ма = 0, или
Используя некоторые свойства этих интегралов, Carr [1981] доказал, что
R(a) имеет вид, показанный на рисунке 7.3.8: эта функция имеет
единственный минимум с ~ 0,752 при некотором конечном значении а > 0, а
затем монотонно и неограниченно растет с ростом а. Таким образом, для ь>2
? (1,оо) сохраняется только одна замкнутая орбита вблизи некоторой линии
уровня с параметром а > 0, а для i>2 ? (4/5, 1) сохраняется три орбиты:
две для значений а ? (-1/4, 0) и одна для а > 0. При ь>2 = = 4/5 мы имеем
уже описанное гомоклиническое седловое соединение, сосуществующее с
лежащей вне его замкнутой орбитой, а при и2 ? (с, 4/5) имеем две
замкнутых орбиты, репеллер внутри аттрактора, причем обе они окружают все
три неподвижных точки. Эти орбиты сливаются и исчезают при прохождении
ь>2 через значение с. Теперь мы можем достроить деформацию на рисунке
7.3.7 - см. рисунок 7.3.9, добавляя бифуркационную кривую Вро, на которой
сливаются периодические орбиты.
Этим завершается наше исследование разверток векторных полей с
вырожденной линейной частью [qJ]. В разделе 7.6 будет показано, что эта
симметричная нормальная форма встречается в интересных проблемах механики
твердого тела и гидродинамики.
(7.3.33)
7'
464
Глава 7
Рис. 7.3.9. Завершение построения на рис. 7.3.7.
7.4. Чисто мнимая пара и простое нулевое собственное значение
В этом и следующем разделах проводится частичное исследование двух
оставшихся бифуркаций коразмерности два. Полученные результаты
сравнительно неполны ввиду наличия у деформаций гомоклинических орбит. В
каждом из случаев векторные поля имеют чисто мнимые собственные значения.
Нормальные формы этих векторных полей симметричны (инвариантны) по
Предыдущая << 1 .. 156 157 158 159 160 161 < 162 > 163 164 165 166 167 168 .. 199 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed