Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей - Гукенхеймер Дж.
ISBN 5-93972-200-8
Скачать (прямая ссылка):
Остается проверить, что в области ШЬ система имеет единственный
отталкивающий предельный цикл для каждой пары значений параметров
(ц\,ц2). Пусть 7 = (ua(t), va(t)) обозначает одну из замкнутых орбит
внутри Го для значения функции Гамильтона Н(иа, va) = а и с периодом Та,
тогда, согласно теории Мельникова, достаточно проверить, что величина1
Ма(и2) = / va(t)[u2va(t) + ua(t)va(t)] dt = [i?2v + uv]du (7.3.21)
обращается в нуль ровно для одного значения параметра v2(e, су) при любом
выборе е и а. Это можно сделать либо путем непосредственного вычисления
интегралов при помощи эллиптических функций, либо при помощи
1 Рассматриваемая здесь функция называется порождающей функцией Пуанкаре
- Понтря-гина, см. Андронов и др. [1967].
7.3. Двойное нулевое собственное значение
457
7*2
Рис. 7.3.3. Глобальная бифуркация седлового соединения.
рассуждений, аналогичных приведенным в работе Carr [1981]. Мы не будем
здесь вдаваться в подробности, оставляя вычисления в качестве упражнения1
:
УПРАЖНЕНИЕ 7.3.4. Преобразуйте (7.3.16) в криволинейный интеграл вдоль
гомоклинической орбиты и вычислите его. Оцените величину (7.3.21) при
помощи
эллиптических функций (замените в (7.3.14) v = ^2а + 2ь>\и + •
Полезной
может оказаться статья Byrd, Friedman [1971].
УПРАЖНЕНИЕ 7.3.5. Постройте бифуркационное множество и фазовый портрет
для развертки (7.3.4) при а = 1, Ъ = -1. Отсюда сделайте вывод, что выбор
а = = Ъ = 1 по существу охватывает все случаи, с точностью до обращения
времени. Какой вывод можно сделать при Ъ = О?
Заметим, что бифуркационное множество на рисунке 7.3.3 состоит из кривых
коразмерности один, встречающихся в точке цг = Ц2 = 0, в которой
векторное поле имеет сингулярность коразмерности два. На каждой из этих
кривых имеет место одна из бифуркаций коразмерности один: седло-узел при
Ц1 = О, Ц2 7^ О, бифуркация Хопфа при pi = -Ц2 > 0 и седловое
соединение или гомоклиническая бифуркация при pi " - (Ц) Д2 > 0.
]Этот момент является самым сложным в исследовании (7.13.12), см.
Богданов [1975], Петров [1988], Морозов [1995, 1998].
458
Глава 7
Последний случай является примером глобальной бифуркации, с которыми мы
встречались ранее в разделе 6.1. Однако при изучении данной деформации мы
увидели, как наличие такой глобальной бифуркации может быть обнаружено
при помощи локального анализа. Подобная ситуация не раз еще встретится в
данной главе.
Мы не касаемся здесь проблемы доказательства того, что система (7.3.4)
является универсальной деформацией для (7.3.3). По существу, мы даже не
дали четкого определения универсальной деформации, так как здесь имеются
некоторые технические вопросы, требующие доработки и выходящие за рамки
нашего рассмотрения (см. Newhouse и др. [1976]). Читатель, интересующийся
подробностями данного частного примера, может ознакомиться с работами
Арнольда [1972] и Богданова [1975].
УПРАЖНЕНИЕ 7.3.6. Покажите, что только что описанная бифуркация
коразмерности два имеет место для усредненного уравнения Ван дер Поля
(2.1.14) в
точке (сг,7) = ^ (см. раздел 2.1 и Holmes, Rand [1978]).
В той же статье Takens [1974b] изучались также деформации, сохраняющие
определенные вращательные симметрии. Важный для изучения нелинейных
колебаний случай связан с "кубической" симметрией или с симметрией
относительно поворота на угол тт. Здесь вырожденное поле содержит
кубические члены в качестве младших, а деформация задается
двупараметрическим семейством
Допуская обращение и линейное масштабирование времени, мы можем без
потери общности положить 63 = -1, однако необходимо рассмотреть два
случая а3 = ±1. Сначала возьмем а3 = 1, тогда локальный анализ позволяет
построить (частичное) бифуркационное множество и фазовые портреты,
изображенные на рисунке 7.3.4. В начале координат мы имеем вырожденную
седловую точку, и, строго говоря, мы должны прежде изучения деформации
проверить, пользуясь методами раздела 7.2.2, что 3-струя
тов к работам Takens [1974а,Ь].
УПРАЖНЕНИЕ 7.3.7. Проверьте правильность рисунка 7.3.4.
В данном случае мы подозреваем наличие глобальной бифуркации во второй
координатной четверти. Для проверки проведем масштабирование, полагая
х = у,
у = угх + Ц2 у + а>зх3 + Ъ3х2у.
(7.3.22)
определена. Мы отсылаем читателя за подробностями расче-
х = еи, у = s2v, щ = ?21ц, Ц2 = е2^, t -> eri, (7.3.23)
7.3. Двойное нулевое собственное значение
459
Рис. 7.3.4. Частичное бифуркационное множество и фазовые портреты
уравнения (7.3.22): аз = +1, &з = -1.
в итоге получим
й = v,
(7.3.24)
v = и + ev 2V + и3 - su2v.
Полагая vi = -1 (так что цх ^ 0), будем иметь (7.3.24) в гамильтоновой
форме с гамильтонианом
"2 "2 "4
H{u,v) = \ + \-^ (7.3.25)
при е = 0. Фазовый портрет данной гамильтоновой системы имеет пару
симметричных гетероклинических орбит, соединяющих седловые точки (u,v) =
(±1,0) и лежащие на линии уровня H(u,v) = 1/4, и анализ, аналогичный
приведенному выше, позволяет построить бифуркационное множество,
