Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей - Гукенхеймер Дж.
ISBN 5-93972-200-8
Скачать (прямая ссылка):
и покажите, что для значений Ъ < 0 имеет место суперкритическая
бифуркация Хопфа.
Заметим теперь, что фазовые портреты в области III вблизи линий pi = 0,
р2 < 0 и р2 = i/-pi не гомеоморфны, так как второй обладает предельным
циклом, а первый - нет. Следовательно, в этой области должны существовать
дополнительные бифуркационные точки. Поскольку седло и сток не изменяют в
области III своего топологического типа, должна иметь место глобальная
бифуркация, возможно, петля сепаратрисы
7.3. Двойное нулевое собственное значение
453
/Д
Рис. 7.3.1. Деформация уравнения (7.3.3), частичное бифуркационное
множество и фазовые портреты уравнения (7.3.4).
седла (см. раздел 6.1), в которой предельный цикл исчезает, а устойчивое
и неустойчивое многообразия седловой точки "пересекаются". Для изучения
такой бифуркации применим масштабирующее преобразование, несколько
отличающееся от описанного выше процесса раздувания (см. Takens [1974b] и
Carr [1981]). Положим
х = е2и, у = e3v, yi = e4vi, ц2 = e2^2, е^О (7.3.11) и введем новое время
t -> et, так что система (7.3.4) (при а = Ъ = 1) примет вид1
й = V,
2 (7-3.12)
v = vi + ev2V + euv + и .
Именно система такого вида исследовалась в работе Морозова, Федорова
[1983]. В книгах Морозова [1995, 1998] рассмотрена более общая задача об
оценке числа предельных циклов в квазигамильтоновых двумерных системах; в
частности, рассмотрен случай "кубического гамильтониана", см. также
Петров [25]. - Прим. ред.
454
Глава 7
Исследование деформации сводится к анализу /"/? e.v п а р а м е т р и ч е
с ко й системы (7.3.12), в которой vi, V2 = 0(1), а е мало. На первый
взгляд, сделанное преобразование лишь добавляет в систему еще один
параметр, тем самым усложняя ее. Заметим, однако, что нас интересует лишь
случай 1ц < О (ц1 < 0), так как при 1ц > 0 неподвижных точек нет. Кроме
того, что более существенно, полагая е -> 0 при фиксированном 1ц ф 0,
можно превратить (7.3.12) в интегрируемую гамильтонову систему
й = V,
(7.3.13)
V = V\ + и
с гамильтонианом
H(u,v) = Y - Vxu - у. (7.3.14)
Пользуясь нашим вырожденным преобразованием (7.3.11), увидим, что из е =
0 следует цх = Ц2 = 0 и наша вырожденная неподвижная точка была "раздута"
в некоторую гамильтонову систему. Более того, это преобразование
удерживает неподвижные точки на конечном расстоянии друг от друга при
приближении параметра к точке вырожденной бифуркации Щ = Ц2 = 0.
Рис. 7.3.2. Фазовый портрет системы (7.3.13), v\ = -1.
Теперь становится явной мотивация к перемасштабированию: мы можем
возмутить глобальные фазовые кривые системы (7.3.13) и тем самым выяснить
поведение системы (7.3.4) для Ц1,Ц2, близких к нулю. Мы можем сказать,
что гамильтоново векторное поле (7.3.13) при фиксированном vi (мы берем
v\ = -1, что соответствует цз ^ 0) содержит "в эмбрионе" любое поведение
деформации. В частности, отметим на рисунке 7.3.2
7.3. Двойное нулевое собственное значение
455
замкнутые орбиты и петлю сепаратрисы, соответствующую линии уровня Н(и,
v) = 2/3.
Отыскание седловых петель сводится теперь к поиску значений v2, е ^ 0,
для которых достигается седловое соединение. Такую задачу можно решить
при помощи метода Мельникова (разделы 4.5^.6). Решение, лежащее на Го с
базой в точке до = (-2, 0), дается формулой
(u0(t),v0(t)) - ^1 - 3 sech2 , Зл/2 sech2 . (7.3.15)
В данном случае функция Мельникова M(to) не зависит от времени, так
/ ° \
как возмущение является постоянным векторным полем ?\b,VJrUV\-'VL мы
имеем
СО
M(v2) = J v0{t){v2v0{t) + u0(t)v0{t)) dt =
_±_
V2
v2 J 18 sech4 т th2 r dr + J (1 - 3 sech2 r)18 sech4 th2 r dr ,
- ОО -CO
(7.3.16)
где r = t/y/2. Бифуркационная ситуация, когда петля сепаратрисы
сохраняется, дается формулой М = 0, или, для малых е:
СО
f (1 - 3 sech2 т) sech4 т th2 т dr
- СО
У 2 ~-------------------------------------•
со
f sech т th т dr
- СО
Замечая, что sech2 т = 1 - th2 т и что
=ДЦ.
/ к+1 к+1
J ' -СО 1
найдем, что
(7.3.17)
456
Глава 7
Наконец, вспомнив, что 17 = - 1 и используя (7.3.11) (pi = - е4, /л2 =
?2v2), получим приближенную бифуркационную кривую
m=-g/4 Ц2^0. (7.3.18)
Истинная бифуркационная кривая касается данной полупараболы в точке Ц1 =
Ц2 = 0. Сравнивая это с уравнением бифуркационного множества для
бифуркации Хопфа 73/,:
т = -/1%, ц2 > 0, (7.3.19)
мы действительно убеждаемся в наличии второй бифуркационной кривой Взс,
лежащей слева от кривой (7.3.19) и касающейся ее (а также прямой Ц1 = 0)
в точке (ц1, ц2) = (0, 0). Фазовый портрет на Взс имеет седловую петлю.
Знак функции Мельникова М при /7 больше (соответственно, меньше) -
(49/25)ц2 показывает относительное расположение устойчивого и
неустойчивого многообразий (сепаратрис седла). Заключительное наблюдение
состоит в том, что след "седловой величины" (см раздел 6.1) на кривой
(7.3.18) положителен:
tr Df(^/~n i, 0) = ц2 + V-Mi = у М2 > 0, (7.3.20)
вследствие чего гомоклиничекая орбита является а-предельным множеством
для близлежащих точек. Это иллюстрируется рисунком 7.3.3.
