Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей - Гукенхеймер Дж.
ISBN 5-93972-200-8
Скачать (прямая ссылка):
1.5. Замкнутые орбиты, отображения Пуанкаре и вынужденные колебания
В классических учебниках по дифференциальным уравнениям устойчивость
замкнутых орбит или периодических решений дифференциальных уравнений
обсуждается в терминах мультипликаторов Флоке. Мы хотим представить здесь
более геометрическую, хотя и эквивалентную по существу интерпретацию:
отображение Пуанкаре. Ввиду большой важности этого понятия мы уделяем
значительное место рассмотрению известных примеров из теории вынужденных
колебаний.
Пусть 7 - периодическая орбита некоторого потока ф в R(tm), порождаемого
нелинейным векторным полем f(x). Возьмем сначала локальное сечение Е С R"
размерности п - 1. Гиперповерхность Е не обязательно плоская, но она
должна быть выбрана так, чтобы поток в каждой точке был ей трансверсален.
Это достигается, если f(x) ¦ п(х) ^ 0 для всех х ? Е, где п{х) -
единичная нормаль к Е в точке х. Обозначим (единственную) точку, где 7
пересекает Е, какр и возьмем некоторую окрестность [/СЕ точки р. (Если 7
имеет несколько пересечений с Е, сократим Е так, чтобы осталось только
одно пересечение.) Тогда первый возврат, или отображение Пуанкаре, Р: U -
> Е определяется для некоторой точки q е U как
Р(Ч)=ФАЧ), (1.5.1)
где т = r{q) - время, требующееся для того, чтобы орбита фг{ц) с базой в
точке q впервые вернулась на Е. Заметим, что обычно величина т зависит от
q и не обязана равняться Т = Т{р), периоду орбиты 7. Тем не менее, т^Т
при q -> р.
Ясно, что р является неподвижной точкой отображения Р, и нетрудно видеть,
что устойчивость этой точки соответствует устойчивости 7 для потока фг. В
частности, если р - гиперболическая точка, и линеаризованное отображение
DP(p) имеет ns собственных значений с модулями, меньшими единицы, и пи -
с модулями, большими единицы (ns + пи = п - 1), то для отображения
dimlTs(p) = ns, dim Wu(p) = nu. Поскольку орбиты отображения Р, лежащие
на Ws и IT", образованы пересечениями орбит
1.5. Замкнутые орбиты, отображения Пуанкаре.
45
(фазовых кривых) потока фг с Е, размерности W8{^) и Wu(7) превышают на
единицу соответствующие размерности для отображения. Это проще всего
уяснить из рис. 1.5.1.
Рис. 1.5.1. Отображение Пуанкаре: (а) поперечное сечение и отображение;
(Ь) замкнутая орбита.
В качестве примера рассмотрим плоскую систему
X = х - у - х(х2 + у2), у = х + у-у(х2 + у2)
и возьмем в качестве нашего сечения
Е = {(х, у) G R2 | х > 0, у = 0}.
Преобразуя (1.5.2) к полярным координатам г = у/а;2 + у2, в получим
г = г( 1 - г2),
0 = 1,
а сечение примет вид
Е = {(г, в) е М+ х S'1 I г > 0, в = 0}. Глобальный поток несложно
получить, решая (1.5.3):
1^2
<pt{r0, $0) = ( -2 ~ е 2*) ' ^ ^ '
(1.5.2)
у
= arctg-,
(1.5.3)
46
Глава 1
Время движения т для каждой точки q ? ? равно просто т = 2тг, поэтому
отображение Пуанкаре дается формулой
1/2
РЫ= (i+ (\~1У~АжУ ¦ (1-5.4)
Очевидно, Р имеет неподвижную точку г о = 1, соответствующую круговой
замкнутой орбите единичного радиуса для (1.5.3). Здесь Р - одномерное
отображение, а его линейная часть дается формулой
DP( 1) = 4^ dr о
г 0 = 1
= (1.5.5)
2 V / У V г3 / г0 = 1
Таким образом, неподвижная точка р = 1 устойчива и 7 - притягивающая
замкнутая орбита.
Заметим, что мы могли бы вычислить DP(1) немного проще, рассматривая
поток векторного поля (1.5.3), линеаризованного вблизи замкнутой
орбиты г = 1. Поскольку -^-(г - г3) = 1 - Зг2, имеем линейную систему
i = -2?,
. (1.5.6)
0 = 1,
с потоком
Офь{Ь,во)={е~2гШ + во). (1-5.7)
Следовательно, DP( 1) = е~2^27Т') = е~4ж, как и выше.
Для демонстрации общей взаимосвязи между отображениями Пуанкаре и
линеаризованными потоками мы должны напомнить некоторые результаты теории
Флоке (Хартман [1964], § IV.6,IX.10). Пусть x(t) = x(t + Т) - решение с
базой ж(0) = р € ?, лежащее на замкнутой орбите 7. Линеаризуя
дифференциальное уравнение вблизи 7, получаем систему
i = Df{x(№ (1-5.8)
где Df(x(t)) - Т-периодическая матрица размерности пх п. Можно показать,
что любая матрица фундаментальных решений такой Т-периодической системы
представима в виде
X(t) = Z(t)em- Z(t) = Z(t + Г), (1.5.9)
1.5. Замкнутые орбиты, отображения Пуанкаре.
47
где X, Z и R - некоторые матрицы размерности гг х гг.1 В частности, можно
выбрать Х(0) = Z(0) = I, так что
Х{Т) = Z(T)e(tm) = Z(0)eTR = eTR. (1.5.10)
Отсюда следует, что поведение решений в окрестности 7 определяется
собственными значениями постоянной матрицы eTR. Эти собственные значения
Ат, ..., А" называются характеристическими мультипликаторами (Флоке) или
корнями, а собственные значения цд, ..., рп матрицы R являются
характеристическими показателями замкнутой орбиты 7. Мультипликатор,
соответствующий возмущениям вдоль 7, всегда равен единице; будем
обозначать его А". Если ни один из модулей остальных п - 1
мультипликаторов не равен единице, они определяют устойчивость 7.
При подходящем выборе базиса последний столбец матрицы eTR равен (0, ...,
0, 1)т, и матрицу DP(p) линеаризованного отображения Пуанкаре размерности
