Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей - Гукенхеймер Дж.
ISBN 5-93972-200-8
Скачать (прямая ссылка):
Takens [1974а] пользовался первой из этих форм, а Богданов [1975] и
Арнольд [1972] - второй. В разделе 7.2 мы привели результаты Takens,
здесь, напротив, будет использован подход Богданова. Заметим, что данную
проблему исследовали также Kopell, Howard [ 1975]1.
Вначале предположим, что коэффициенты квадратичной формы а о, 62 не равны
нулю, а члены третьей и высшей степеней отсутствуют. Таким образом,
задача сводится к деформации вырожденного векторного поля (по аналогии с
разделом 7.2, индексы опущены):
Как мы увидим, знаки обоих коэффициентов а и b существенны для
топологической классификации, причем оба коэффициента должны быть
отличными от нуля для того, чтобы деформация была полностью определена.
(Применив к данной нормальной форме методы, описанные в разделе 7.2,
можно обнаружить, что для определенности данного вырожденного векторного
поля достаточно требования а ^ 0.)
Универсальная деформация системы (7.3.3) должна содержать некоторое
семейство векторных полей, локальные потоки которых включают в себя все
возможные малые возмущения вырожденного потока (7.3.3). В отличие от
благоприятной ситуации в теории особенностей (см. Golubitsky, Schaeffer
[1983]), здесь не существует общего рецепта построения такого семейства.
Каждый случай необходимо рассматривать индивидуально. В данном случае,
ввиду наличия нулевого собственного значения у положения равновесия,
необходимо учесть возможности исчезновения этого
к
7=2
к
+ 0(\х, у\к+1)
(7.3.1)
У = Y1 b3xJ
7=2
или
х = у
к
+ 0(\х,у\к+1).
(7.3.2)
У = ^2(ajX3 + bjXJ ly) 7=2
х = у,
у = ах2 + Ьху.
(7.3.3)
1См. также Морозов, Федоров [24]. - Прим. ред.
7.3. Двойное нулевое собственное значение
451
равновесия и расщепления его на, по меньшей мере, два структурно
устойчивых равновесия. Кроме того, возмущенная система может иметь и
другие неблуждающие множества, такие как периодические орбиты. Следующее
двупараметрическое семейство представляет собой универсальную деформацию
для (7.3.3):
Заметим, что семейство (7.3.4) отличается от предложенного Богдановым
[1975], однако оно позволяет обнаружить те же топологические типы фазовых
портретов, которые были получены им, а также Takens [1974b].
Зафиксируем для простоты анализа а и Ь. Ясно, что при помощи подходящего
масштабирования переменных и замены (ж, у) -> (-ж, -у) общий случай а, Ъ
^ 0 можно свести к одному из двух следующих: а = 1, b = = ±1. Поэтому мы
рассмотрим случай а = Ъ = 1 и оставим второй случай в качестве
упражнения.
Нетрудно найти бифуркационные кривые, на которых система (7.3.4)
испытывает бифуркации "седло-узел" и Хопфа. Сначала найдем, что
неподвижные точки задаются формулой
и существуют лишь при у\ ^ 0. Линеаризация в окрестности этих точек
приводит к выражению
Следовательно, точка (ж+, 0) устойчива при у1 < 0 и любых у2, а (ж_, 0)
является источником при {у2 > л/-Дъ Ц1 < 0} и стоком при {цг < л/-Дъ yi <
0}. Таким образом, бифуркация Хопфа происходит на кривой у2 = = \/-у\, а
бифуркация седло-узел - на кривой yi = 0, у2 ф 0.
Упражнение 7.3.1. Проверьте вышеприведенные утверждения.
Для изучения устойчивости бифуркации Хопфа сделаем две замены переменных,
первая из которых переводит начало координат в точку (:г , 0), а вторая
приводит векторное поле к стандартной форме. Полагая ж = ж-ж_, у = у,
получим
ж = у,
у = у 1 + У2У + аж2 + Ьху.
(7.3.4)
(ж, у) = (±V-Mi, 0) = (ж±, 0)
(7.3.5)
Df(x±,0) ±2^7 y2±^JT1 ¦
(7.3.6)
452
Глава 7
Затем используем линейное преобразование
X I ________ гр
у) ~ W
(7.3.8)
где
Т =
О
\/-2ж-
составлена из вещественной и мнимой частей собственных векторов,
отвечающих собственным значениям Л = ±г^/-2х_. В итоге получим систему,
линейная часть которой записана в стандартной форме:
1 ",2\
О_____
\/~ 2ж_
-yj-2x-
0
uv ¦
(7.3.9)
Используем теперь алгоритм исследования устойчивости (3.4.11). В данном
случае в этой формуле отличны от нуля лишь слагаемые fuv = 1, fvv =2/у'-
2ж_, поэтому ведущий коэффициент в нормальной форме бифуркации Хопфа
таков:
1
16^/-2х-
1
1
1
\Jzy2x-
16ж- 16
> 0.
(7.3.10)
Следовательно, бифуркация субкритическая, и мы имеем семейство
неустойчивых периодических орбит, окружающих сток для значений параметра
Ц2, меньших sj-pi (но близких к этой величине). Итог этих рассмотрений
представлен на рис. 7.3.1, где частично показаны бифуркационные множества
и соответствующие фазовые портреты. Рекомендуем читателю проверить, что
векторные поля, в особенности вырожденные седло-узлы (pi = 0) выглядят
так, как изображено на этой фигуре.
УПРАЖНЕНИЕ 7.3.2. Покажите, что в областях /д > 0 и р2 < - \J-pi, pi < 0
не существует периодических орбит и что фазовые портреты на рис. 7.3.1
правильны. В частности, используйте теорию центрального многообразия,
чтобы показать, что вблизи оси pi = 0, Д2 ф 0 действительно имеют место
представленные на рисунке соединения сток-седло и источник-седло.
УПРАЖНЕНИЕ 7.3.3. Введите в уравнение (7.3.4) в явном виде коэффициент Ъ
