Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей - Гукенхеймер Дж.
ISBN 5-93972-200-8
Скачать (прямая ссылка):
при условии, что 62 7^ 0- (Аналогичный вывод с необходимостью справедлив
и для (7.2.9), так как данные два векторных поля топологически
эквивалентны.) Главным инструментом анализа является метод раздувания.
Вводятся такие сингулярные замены координат, которые расширяют
вырожденные неподвижные точки до окружностей, содержащих конечное число
неподвижных точек. Если эти точки будут гиперболичными после первого
(7.2.5)
,2
(7.2.6)
либо
(7.2.7)
Следовательно, 2-струю нормальной формы удобно записать как
X = у + С12Х2,
(7.2.8)
У = Ь2х
.2
или как
X = у,
у = С12Х2 + Ъ2Ху.
(7.2.9)
УПРАЖНЕНИЕ 7.2.1. Покажите, что
и, более обще,
х = у + а2х2 + 0(\х, у|3), у = Ь2х2 + 0(\х, у|3)
(7.2.10)
7.2. Замечание о fc-струях и определенности
447
раздувания, то локальный поток вблизи этой окружности и, следовательно,
вблизи исходной неподвижной точки устойчив по отношению к членам более
высокого порядка. Например, для уравнения (7.2.10) требуется три
раздувания и некоторый дополнительный прием, прежде чем преобразованное
векторное поле станет устойчивым.
Мы опишем здесь подробно первое раздувание и кратко - остальные для
иллюстрации данного метода. Перейдем к полярным координатам, полагая х =
г cos в, у = г sin в, тогда система (7.2.10) запишется так:
г = г cos$(sin$ + ar cos2 в) + Ьг2 cos2 dsind + 0(r3), в = br cos3 в -
(sin2 в + ar sin в cos в) + 0(r2),
(7.2.11)
где опущены индексы, т. е. а2 = а, 62 = Ь. Теперь раздуем особую точку г
= 0 до окружности, считая (г, в) координатами на поверхности цилиндра,
см. рис. 7.2.1. При взгляде сверху вниз верхняя половина цилиндра
является исходным фазовым пространством R2 за вычетом начала координат (г
> 0), а окружность г = 0 соответствует началу (нижняя половина цилиндра
не соответствует никаким точкам на исходной плоскости (х, у).
Рис. 7.2.1. Сингулярное раздувание Такенса.
Уравнение (7.2.11) имеет на окружности г = 0 положения равновесия в =
0,7Г, причем оба они вырождены и имеют одинаковые линейные части. Полагая
в " 0, г " 0, разложим (7.2.11) в ряд Тейлора:
г = гв + аг2 + 0(\г, 0|3), в = bi- в2 - агв + 0(г2) + 0(\г, 0|3).
(7.2.12)
Аналогичное разложение получается вблизи точки (г, в) = (0, тт).
Поскольку векторное поле (7.2.12) пока еще вырождено, необходимо
очередное раздувание, но прежде можно применить к нему теорему о
нормальной форме,
448
Глава 7
позволяющей удалить некоторые члены второго порядка и получить
г = гв + 0(\г, 0|3),
(7 2 13)
6 = Ьг-в2 + 0{\г,в\3).
После следующих двух раздуваний (г, в) -> (р, ф) по формулам в = = р cos
ф, г = р sin ф и (р, ф) -> (р, ф) по формулам ф = р cos ф, р = р sin ф
получим такое векторное поле (энергичный читатель может проверить
выкладки1):
г) = rf(-b cos3 ф + 2 cos2 фвтф - sin3 ф + b cos ф sin2 ф + ...), ф =
r](b cos3 фвтф - 3 cos ф sin2 ф + b cos2 ф sin ф + ...).
Фазовый портрет системы (7.2.14) не изменится (кроме, возможно, значения
7] = 0) при делении векторного поля на 7], так как этот множитель
присутствует в обеих компонентах. Поэтому можно рассмотреть новое
векторное поле
г] = ri(-b cos3 ф + ...),
• о (7.2.15)
ф = (Ъ cos ^sin^ + ...),
имеющее шесть гиперболических неподвижных точек р = 0, ф = 0, 7г/2, 7Г,
37Г/2 и ф = arctg(2fc/3), arctg(2fc/3) + тт. Следовательно, поток
(7.2.15) устойчив по отношению к малым возмущениям (высших порядков),
поэтому поток (7.2.14) также устойчив. Мы теперь проводим троекратное
"сду-тие" (грф) -> (р,ф) -> (г, в) -> (х, у) и приходим к выводу, что
поток (7.2.8) вблизи вырожденной неподвижной точки (ж, у) = (0,0)
действительно устойчив по отношению к добавлению (малых) членов старшего
порядка при условии, что h / 0. Заметим, что значение а несущественно,
так как оно пропадает в процессе преобразований. Тем не менее, этот
коэффициент играет важную роль при определении развертки, как мы увидим в
следующем разделе. Вообще говоря, достаточные условия определенности
вырожденного векторного поля могут быть недостаточными для определенности
деформации. На рис. 7.2.2 процесс раздувания показан геометрически.
Аналогичный анализ можно выполнить для других вырожденных сингулярностей
коразмерности два, представленных в разделах 7.4-7.5, см. Takens [1974а].
Для трех- и четырехмерных случаев необходимо проверить, что определенные
инвариантные конусы в усеченных симметричных системах нормально
гиперболичны и, следовательно, сохраняются при добавлении членов старшего
порядка. Мы не приводим здесь этот более сложный анализ.
1 Энергичный переводчик обнаружил, что во втором из этих уравнений
степень при cos ф вторая, а не третья. - Прим. ред.
7.3. Двойное нулевое собственное значение
449
1,
Рис. 7.2.2. Раздувание уравнения (7.2.10).
7.3. Двойное нулевое собственное значение
Обратимся теперь к изучению вырожденнных 2- и 3-струй, ассоциированных с
линейной частью [gg] и к построению их универсальных деформаций. Как мы
видели в предыдущем разделе, /с-струю нормальной
450
Глава 7
формы для этой задачи удобно записать в одной из следующих двух форм:
