Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гукенхеймер Дж. -> "Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей" -> 156

Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей - Гукенхеймер Дж.

Гукенхеймер Дж., Холмс Ф. Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей — М.: Институт компьютерных исследований, 2002. — 560 c.
ISBN 5-93972-200-8
Скачать (прямая ссылка): nelineyniekolebaniya2002.djvu
Предыдущая << 1 .. 150 151 152 153 154 155 < 156 > 157 158 159 160 161 162 .. 199 >> Следующая

портретов в виде единой фигуры, подобной представленной на рис. 7.1.1.
УПРАЖНЕНИЕ 7.1.1. Покажите, что универсальная деформация (7.1.2)
представляет собой семейство градиентных векторных полей с потенциальной
функцией
4^2 + 27аз^1 = 0-
(7.1.6)
440
Глава 7
Исследуйте поведение критических точек функции V^1jM2 и сопоставьте его
бифуркационному множеству на рис. 7.1.1.
УПРАЖНЕНИЕ 7.1.2. Найдите бифуркационное множество и соответствующие
фазовые портреты для семейства векторных полей х = уi + р,2Х + узх2 +
а4Ж4. Покажите, что это бифуркационное множество в R3 содержит сборки и
складки. (Подсказка: сравните данную задачу с катастрофой "ласточкина
хвоста", открытой Thom [1975], см. Poston, Stewart [1978].)
Читатели, знакомые с теорией катастроф Тома, могут задаться сейчас
вопросом: существует ли связь между теориями катастроф для деформации
потенциальной функции и для соответствующего векторного поля. Ситуация
прямолинейна в одномерном случае, так как при этом все векторные поля
градиентны, однако следующий пример эллиптической омбилики показывает,
что в случае размерности два и более взаимосвязь, вообще говоря, не
проста. Эллиптическая омбилика появляется из универсальной развертки
функции
Арнольд показал [1972], что существуют такие возмущения эллиптической
омбилической потенциальной функции, которые обладают замкнутыми орбитами
(см. уравнения (1.8.5)-(1.8.7)). Эти замкнутые орбиты не охватываются
обсуждением эллиптической омбилики в рамках теории катастроф, так как все
рассматриваемые в ней векторные поля градиентны (см. уравнение (1.8.13),
а также нижеследующее упражнение 7.1.3).
УПРАЖНЕНИЕ 7.1.3. Изобразите фазовые портреты градиентных векторных по-
Покажите, что в этом случае даже градиентные возмущения могут
демонстрировать бифуркации гетероклинных орбит, которые нельзя вывести
прямо из потенциальной функции. (См. Poston, Stewart [1978, главы 11,
12], а также раздел 6.1 данной книги.)
(7.1.7)
Соответствующее градиентное векторное поле таково:
х = ху, 1
(7.1.8)
лей в R2, имеющих потенциальные функции, получающиеся из универсальной
деформации эллиптической омбилики:
V^(x,y) = i(y - Х2уj + yix + р,2у + уз(х2 + у2).
Упражнение 7.1.4. Покажите наличие пиков в бифуркационных множествах
следующих систем:
7.1. Вырождение в членах высшеео порядка.
441
(a) усредненное уравнение Ван дер Поля (2.1.14) в пространстве (сг, у);
(b) усредненное уравнение Дуффинга с положительной линейной жесткостью
(4.2.13)-(4.2.14) в пространстве (0,7) с положительной константой а.
(Каждая из этих бифуркаций включает до трех неподвижных точек усредненных
уравнений и, следовательно, до трех периодических орбит полной системы.)
Усредненные уравнения Ван дер Поля и Дуффинга из последнего упражнения не
являются градиентными системами, но, так как в окрестности сборки мы
можем осуществить редукцию к семейству систем с одномерными центральными
многообразиями, данные бифуркации эффективно определяются при помощи
эквивалентных градиентных полей. Данное
утверждение неверно вблизи вырожденной точки (сг,7) = ^ уравне-
ния Ван дер Поля. Деформация вблизи этой точки рассматривается ниже в
разделе 7.3.
Проиллюстрируем примером другой аспект разверток. Вырожденное векторное
поле (А = Q = 0) в полярных координатах имеет вид
2
г = тг- sin Зв,
2 (7.1.9)
в = ^ cos Зв,
и, очевидно, инвариантно относительно поворотов на угол 2тт/3, по
аналогии с частным случаем развертки уравнения (1.8.5):
2
г = -(г + Цг- sin Зв,
2 (7.1.10)
в = А + ^ cos Зв.
Развертки, как правило, не сохраняют эту симметрию (как демонстрирует
упражнение 7.1.3, существуют возмущения с двумя положениями равновесия).
Однако физические системы часто обладают симметрией, которой с
необходимостью должны обладать и их математические модели. В данном
примере инвариантность отображения Пуанкаре по отношения к поворотам на
угол 2тт/3 ассоциируется с некоторой субгармоникой порядка три,
порождающей эту симметрию, см. раздел 4.2.
Классическим примером роли симметрии в проблеме бифуркации является
прогиб колонны под действием силы тяжести, впервые изученный Эйлером
[1744]. Ограничиваясь единственной модой, получим уравнение второго
порядка
х + ах + 7Г2(7Г2 - Ti)a; + /Заз3 = 0; а, /3 > 0 (7.1.11)
Рис. 7.1.2. Задача о симметричном прогибе колонны.
для безразмерного перемещения (х) и скорости (х) этой моды. Нетрудно
построить соответствующую бифуркационную диаграмму. Если осевая нагрузка
Г | меньше, чем 7г2, то имеется единственное глобально устойчивое
положение равновесия. Если же Гх превышает (первую) изгибную нагрузку
7г2, то имеются две дополнительных симметричных неподвижных точки х =
±7г\/Гj - 7г2//3; см. рис. 7.1.2. Если теперь приложить к колонне
некоторую боковую нагрузку Го, то неподвижные точки будут лежать на
множестве корней уравнения
/За;3 + 7г2(7г2 - Гх)х - Го = 0, (7.1.12)
которое является сборкой, изображенной на рис. 7.1.1. При этом симметрия
бифуркационной диаграммы, представленной на рис. 7.1.2, разрушается, и
Предыдущая << 1 .. 150 151 152 153 154 155 < 156 > 157 158 159 160 161 162 .. 199 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed