Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей - Гукенхеймер Дж.
ISBN 5-93972-200-8
Скачать (прямая ссылка):
что они предоставляют доступ к аналитическому описанию сложной динамики
систем большой размерности или даже дифференциальных уравнений в частных
производных. Примеры обсуждаются в разделе 7.6.
Другой вопрос, не обсуждаемый подробно в данной книге, - бифуркации при
наличии симметрии. Будут приведены некоторые примеры векторных полей,
инвариантных относительно различных групп симметрии, однако попытка
систематического изложения не делается. Заинтересованному читателю
советуем обратиться к статьям и книге Golubitsky, Schaffer [1972а, b,
1983], содержащим обширное изложение данной теории.
7.1. Вырождение в членах высшего порядка.
Рассмотрим деформацию бифуркаций седло-узел и Хопфа с дополнительным
вырождением простейшего возможного типа в членах старшего порядка. Таким
образом, линейные части в точке бифуркации по-прежнему равны Ах = 0 и А
(у) = () соответственно, но главные коэффициенты в нелинейной нормальной
форме равны нулю.
В случае седло-узел укороченная система принимает вид
х = азх3, (7-1.1)
так как по сделанному предположению аг = /'(О) = 0. Поразмышляв, можно
прийти к выводу о существовании малых возмущений функции а^х3, при
которых система будет иметь одну или три гиперболических неподвижных
точки вблизи х = 0, а также определенных "необычных" возмущений, при
которых она будет иметь две неподвижных точки, одна из которых неги-
перболична. Невозможно получить более трех неподвижных точек вблизи
нуля1. Все перечисленные возможности можно учесть путем добавления членов
более низких порядков pi + Ц2Х, поэтому деформация описывается уравнением
х = /ri + Цъх + азх3. (7.1.2)
Динамика данного одномерного векторного поля определяется, с точностью до
топологической эквивалентности, его неподвижными точками и
1При условии, что аз = 0. - Прим. перев.
438
Глава 7
типами их устойчивости. Вообще говоря, теория особенностей предоставляет
средства для систематического изучения нулей (семейств) отображений /: R"
-a- Rm, примером которых может служить правая часть уравнения (7.1.2).
Арнольд [1972, 1981] изложил результаты такого рода. Как мы увидим ниже,
многомерный случай пока содержит некоторые проблемы, а одномерный случай
полностью изучен.
Рассмотрим полином
Ра{%) = ХП + an-iXn 1 + ап-2хп 2 + • • • + CIQ. (7.1.3)
Полагая xq = -an-i/n, получим эквивалентное выражение
Рц{х) = (ж - ж0)" + рп-2(х - Жо)"-2 + ... + Ро; (7.1.4)
т. е. благодаря сдвигу вдоль оси х пропал член степени (п - 1). Мы будем
относиться к коэффициентам ро, ... ,рп~2 как к параметрам,
характеризующим возмущение полинома ж(tm). С точностью до (малых) сдвигов
вдоль оси ж, все полиномы степени п с малыми коэффициентами содержатся
среди Рц. Если считать РДж) функцией на пространстве R х М"-1 (т. е. (ж,
р)), то ее градиент в начале координат отличен от нуля. Следовательно, по
теореме о неявной функции, множество Z = {(ж,р) | РДж) = 0} является
подмногообразием R х R"-1 вблизи нуля. Очевидно, что это свойство
сохраняется при возмущении семейства РДж).
Мы можем сказать больше о семействе РДж) и его нулях. Многочлен РДж),
рассматриваемый как функция от ж, имеет вырожденный нуль в точке (хо,ро),
если (<7/<7ж)(РДж)) = 0. Это эквивалентно утверждению, что вдоль
некоторого направления подмногообразие Z касается плоскости ж = жо в R х
R"-1. Из теории особенностей следует, что при возмущении семейства
полиномов Р^ (ж) (в классе С°°) можно найти такие гладкие замены
координат в R х R"-1 и R (пространство образов), которые возвращают
возмущенное семейство к его первоначальной форме. В частности, структура
множества значений р, для которых Р^ (ж) имеет вырожденный нуль, не
изменяется (см. Golubitsky, Guillemin [1973]). Это служит обоснованием
утверждения, что (7.1.2) является деформацией для (7.1.1).
Для семейства одномерных векторных полей
ж = РДж) (7-1.5)
бифуркационным множеством является совокупность таких значений р, для
которых РДж) имеет вырожденный нуль. Найдем это множество для семейства
(7.1.2). Дифференцируя pi + р2х + азж3 по ж, получим р2 + Зазж2.
7.1. Вырождение в членах высшего порядка.
439
Приравнивая оба этих выражения к нулю, получим после исключения х такое
бифуркационное множество:
На рис. 7.1.1 показано бифуркационное множество (7.1.6) для (7.1.2) и
соответствующие фазовые портреты для аз < 0. Аналогичную картину (с
обращением времени) можно получить для случая аз > 0. Заметим, что В
состоит из двух открытых кривых коразмерности единица, на которых
происходит бифуркация седло-узел (коразмерности один), и точки (/ii, Р2)
= (0, 0) коразмерности два, в которой мы имеем двукратно вырожденную
особенность коразмерности два а^х3. Форма бифуркационного множества
(7.1.6) предопределяет название, иногда употребляемое для этой
деформации: сборка.
Рис. 7.1.1. Бифуркационное множество и фазовые портреты для уравнения
(7.1.2); аз < 0.
На протяжении данной главы будет использоваться подход к изображению
двупараметрических бифуркационных множеств и соответствующих фазовых
