Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гукенхеймер Дж. -> "Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей" -> 154

Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей - Гукенхеймер Дж.

Гукенхеймер Дж., Холмс Ф. Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей — М.: Институт компьютерных исследований, 2002. — 560 c.
ISBN 5-93972-200-8
Скачать (прямая ссылка): nelineyniekolebaniya2002.djvu
Предыдущая << 1 .. 148 149 150 151 152 153 < 154 > 155 156 157 158 159 160 .. 199 >> Следующая

с собственным вектором {-uj, 1)т. Заметим также, что матрица Тп такова:
где (pi - i-e число Фибоначчи (пронумерованное так, что фо = 0, ф\ = 1).
Отсюда получаем тождество
поскольку (-со)п есть собственное значение Тп с собственным векто-
Мы приходим к выводу, что Фц-с степени отображения образуют
последовательность отображений, которая сходится к тождественному
отображению со скоростью геометрической прогрессии. Кроме того, так как
для чисел Фибоначчии фп+1 = фп + фп-\, то можно генерировать
в виде последовательных композиций вида
(6.8.14)
(6.8.15)
Фп- 1 Фп^ ( 7
(6.8.16)
ром (- UJ, 1)т.
Обозначая вращение окружности на угол uj, будем иметь
{в) - в = фпи) (modi), откуда, в силу (6.8.16) и неравенства |ш| < 1
получим
(6.8.17)
6.8. Ренормализация и универсальность
435
Эти наблюдения относительно числа ш служат основой для попыток отыскания
свойств масштабирования для отображения /.
При поиске свойств масштабирования для / существует одна трудность,
возникающая из-за ограниченности длины окружности. Должен существовать
какой-то максимальный масштаб длины на окружности, для которого можно
применить доказательство, позволяющее перевести поиск неподвижной точки
ренормализующего оператора с окружности на прямую.
1, удовлетворяющей равенству е
2тг if (в) _
Расширим / до функции /: R
= /(е27гге)- Тогда уравнение (6.8.16) приводит к рассмотрению отображения
масштабируемого в геометрической прогрессии. На-
чав с и = v = f и некоторого числа а, можно изучить ренормализующие
операторы, определяемые как
и{в) au(av(a 2в))
у{в)_ и(в)
(6.8.19)
или
["(0)1 a2v(a 1и(а 1в))
у(в\ и(6)
(6.8.20)
соответствующие переходу от (/^", к (/^"+1, f^n) с масштабиру-
ющим коэффициентом а. Численные расчеты приводят к существованию
некоторой функции д такой, что [ 9д ] является неподвижной точкой для
обоих операторов и ПРИ а " -1,29 (см. Feigenbaum et al [1982]; Shenker
[1982]). Кроме того, линеаризация каждого из операторов в его неподвижной
точке имеет одно неустойчивое собственное значение, соответствующее
свойству масштабирования, присущему такому еи, что f(6) + еп имеет
периодическую орбиту, содержащую точку перегиба для / и имеющую число
вращения фп-\/фп. Масштабирующее отношение 8 оказалось равным
приблизительно 2,83. В терминах конкретного отображения (6.8.12) имеем
- во+1_~/П^ (6-8-21)
IL * ОО jjn Рп - 1
где /3" - значение параметра, для которого fpд (7 = 1) имеет число
вращения фп-^/фп. Существует также кривая, описывающая универсальную
структуру при малых масштабах для негладкой инвариантной кривой плоского
отображения с числом вращения ш.
8 1 = lim
Глава 7
Локальные бифуркации потоков коразмерности два
В данной главе обсуждаются бифуркации положений равновесия, имеющих
кратное вырождение. Вначале приводятся аналоги бифуркаций седло-узел и
Хопфа с той же самой линейной частью и дополнительным вырождением в
нелинейных членах разложения в степенной ряд, проявляющимся в нормальной
форме. Соответствующая теория полна, по крайней мере, для нескольких
первых случаев и по существу получается из деформаций вырожденных
особенностей функций, так как в каждом таком случае мы можем осуществить
редукцию к одномерному потоку.
Затем рассматриваются случаи, в которых линейная часть векторного поля
имеет двойное вырождение. Как мы видели в разделе 3.1, существуют три
основных случая, в которых редуцированная система на центральном
многообразии имеет размерности соответственно два, три и четыре, а
линейная часть имеет вид
О 1 О О
'0 -UJ о-
UJ 0 0
_0 0 0
'0 -ил 0 0
UJ1 0 0 0
0 0 0 -UJ2
_0 0 (0-2 0
(7.0.1)
Классификация и деформация для первого (нильпотентного) типа были даны
одновременно (и независимо) Takens [1974а, Ь] и Богдановым (см. Арнольд
[1972]). Остальные случаи были рассмотрены лишь недавно, и полученные
результаты неполны. Мы наметим пути получения дополнительной информации,
при этом выяснится, что задача получения структурно устойчивой деформации
в некоторых случаях выглядит недостижимой.
В заключение данной главы и книги приводятся некоторые физические
проблемы, в которых имеют место бифуркации коразмерности два обсуждаемых
типов.
Существуют и другие типы бифуркаций коразмерности два, не относящиеся к
положениям равновесия, но они не рассматриваются в данной книге. В
действительности, теория таких бифуркаций фрагментарна и ожидает
дальнейшего развития. Одна из областей недавнего существенного прогресса
включает теории, посвященные разрушению квазипериодических движе-
7.1. Вырождение в членах высшего порядка.
437
ний и инвариантных торов (Aronson и др. [1982], Feigenbaum и др. [1982],
Rand и др. [1982], Mather [1982]). Другие работы, относящиеся к данному
вопросу, включают анализ бифуркаций Хопфа для периодических орбит при
наличии сильных резонансов (Арнольд [1977]) и кратных бифуркаций
периодических орбит (Jost, Zehnder [1972]). Одна из причин особой
важности изучения кратных бифуркаций положений равновесия состоит в том,
Предыдущая << 1 .. 148 149 150 151 152 153 < 154 > 155 156 157 158 159 160 .. 199 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed