Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей - Гукенхеймер Дж.
ISBN 5-93972-200-8
Скачать (прямая ссылка):
Строгий анализ удваивающих операторов 57 и 57 значительно сложнее, нежели
анализ перемежаемости, ассоциированной с бифуркациями "седло -узел".
Lanford [1982] и Campanino, Epstein [1981] привели доказательства
существования функции д - неподвижной точки для 57. Lanford также
выяснил, что существует единственное неустойчивое собственное значение.
Оба доказательства тесно связаны с численными расчетами и требуют
аккуратных арифметических оценок. На самом деле, доказательство Lanford
является "компьютерным доказательством" в том, что при помощи
интервальной арифметики и численного анализа он получил оценки,
подтверждающие численные расчеты Фейгенбаума. Однако в более ранней
работе Collet et al. [1980] смогли установить аналитически существование
д, а также спектральные свойства @57(g) для отображений вида х -> д -
|ж|1+е, где ? мало.
3. Разрушение квазипериодичности
Третий рассматриваемый нами пример применения методов ренормализации
связан с переходом в дискретной системе от квазипериодического поведения
к хаотическому. Чтобы выяснить природу данного явления, мы обсудим его
вначале на примере осциллятора Ван дер Поля с внешним возбуждением. Для
определенных диапазонов параметров отображение Пуанкаре первого возврата
для слабо нелинейного уравнений Ван дер Поля имеет семейство инвариантных
замкнутых кривых, чьи числа вращений изменяются при изменении частоты
возбуждения (см. раздел 2.1). Анализ Cartwright, Littlewood [1945]
показывает, что такие кривые уже не существуют, когда нелинейность
достаточно сильна и данное уравнение описывает релаксационные колебания
(см. Levi [1981] и раздел 2.1). Если взять в качестве двух параметров
величину нелинейного члена и частоту возбуждения, то очевидно
существование в плоскости параметров некоторой кривой у, соответствующей
отображениям возврата, имеющим замкнутую инвариантную кривую, на которой
каждое из них имеет фиксированное иррациональное число вращения. Мы хотим
изучить отображения для значений параметров в граничной точке этой
кривой: точке, в которой замкнутая кривая "разрушается".
6.8. Ренормализация и универсальность
433
Данное отображение F: R2 -a- R2 можно изучать при помощи подхода,
аналогичного применяемому в КАМ-теории. Наша цель состоит в отыскании для
гладкой инвариантной кривой Л отображения Г (если таковая существует)
некоторого преобразования координат, приводящего Г д к жесткому повороту
окружности. В рассматриваемом здесь критическом случае, как следует из
теории КАМ, подходящей гладкой замены координат не может существовать.
Однако возможно, что некоторая непрерывная, но недифференцируемая замена
координат переводит Fa во вращение. Можно поставить более простую задачу,
сохраняющую существенные трудности данной. Допустим, что /: S1 -> S1 -
некоторое гладкое взаимно однозначное отображение окружности на себя,
имеющее точку перегиба р, т. е. f'(p) = f"(p) = 0 ^ f"'(p)- Если число
вращения для / иррационально, то существует ли непрерывная замена
координат на S1, переводящая / в некоторое вращение? Этот вопрос в общем
случае далек от разрешения, однако методы ренормализации применялись к
изучению частных случаев чисел вращения.
Допустим, что f:S1 -> S1 имеет точку перегиба р и топологически
эквивалентно вращению на угол а. Это означает, что существует
гомеоморфизм h такой, что h о f[x) = h{x) +а (см. раздел 6.2). Поскольку
f(p) = О, то либо h, либо Л,-1 должны иметь сингулярности, и эти
сингулярности будут присутствовать вдоль траектории точки р. Если число
вращения а обладает специальными свойствами, то резонно заняться поиском
какого-либо самоподобия в структуре h. Основанные на численных расчетах
исследования такого рода привели к открытию в этих ситуациях
универсальных свойств, однако их структура не оказалась столь же жесткой,
как в описанной выше ситуации последовательностей бифуркаций удвоения
периода.
В частности, в качестве примера рассмотрим двухпараметрическое семейство
отображений
О -> fpni(r)) = ^ + Р + 7sin27T0; /3,7^0. (6.8.13)
При 7 < 1 это отображение является диффеоморфизмом окружности, а при 7 >
1 оно необратимо. Критический случай возникает при 7=1. Второй параметр
/3 позволяет подобрать число вращения. Напомним, что это отображение
использовалось Арнольдом [1965] в качестве примера жесткого
(иррационального) вращения (см. раздел 6.2). Здесь, однако, 7 не
считается малой величиной. Заметим также, что Glass, Perez [1982] изучали
данное отображение для 7 > 1.
Наиболее интенсивно изучался случай, когда число вращения, равное а =
(л/б - 1)/2 " 0,618034..., ввиду того, что оно является простейшим
434
Глава 6
разложением в цепную дробь для иррациональных чисел:
л/5 - 1 2
1 +
1
1
1
Далее мы будем обозначать это число вращения как ии. Данная цепная дробь
связана с арифметическими соотношениями, приводящими к свойствам
масштабирования. В частности, заметим, что (-uj) является собственным
значением матрицы
