Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей - Гукенхеймер Дж.
ISBN 5-93972-200-8
Скачать (прямая ссылка):
друг к другу и к Л, значительного разбегания не будет.
6.8. Ренормализация и универсальность
429
2 10 14 6 8 с 1612 4 3 1115 7 5 13 9
1
Рис. 6.8.2. Восемь подынтервалов при построении канторова множества Л;
конечными точками являются первые 16 итераций: {f1
Перемешивающая последовательность а для отображения / обладает таким
примечательным свойством: если положить bi = ац, то последовательность b
будет дополнительной для а, получаемой из а изменением каждого символа
(такая последовательность называется последовательностью Морса).
Рис. 6.8.3. Критическое отображение / и его квадрат /2.
Дальнейшую информацию можно почерпнуть из рисунка 6.8.3, где показаны
критическое отображение / и его квадрат /2. Если точки р и р' ф р
удовлетворяют условию f(p') = f(p) = р, то из сделанного наблюдения о
перемешивающей последовательности для / следует, что /2|[Р';Р]
топологически эквивалентно f\j. Поэтому имеет смысл выяснить, не связаны
ли /2 и / линейным масштабированием. Одно из фундаментальных наблюдений
Фейгенбаума состоит в существовании единственного четного вещественного
аналитического отображения g: R -> R и вещественного числа а ~ -2,5, для
которых д(0) = 1, д"(0) < 0 и ад2(а~1х) = д(х). Отображение д можно
определить приближенно при помощи численных методов, представляя его в
виде полинома высокой степени с неопределенными коэффициентами.
430
Глава 6
Рис. 6.8.4. Структура вблизи универсального отображения д в пространстве
функций.
Вышеупомянутое отображение д является неподвижной точкой ренормализующего
оператора удваивания S, определяемого соотношением
^{f)ix) = af2(a~1x); х?\р',р\, (6.8.10)
на пространстве четных функций /, для которых /(0) = 1 и а = = (/2(0))~:
= 1//(1). Фейгенбаум численно исследовал оператор S и пришел к выводу,
что g является изолированной неподвижной точкой, а линейная часть r'/iS
этого оператора в точке g в пространстве четных функций h, для которых
h(0) = 1, имеет единственное неустойчивое собственное значение 5 ~ 4,67.
Этот анализ приводит в фазовом пространстве к следующей картине (см. рис.
6.8.4).
Существует поверхность Е (коразмерности один), состоящая из функций с той
же перемешивающей последовательностью, что и д. Некоторая окрестность д в
Е лежит в устойчивом многообразии точки д для оператора удваивания S.
Примерно параллельно к Е проходят поверхности Е", представляющие такие
отображения, для которых критическая точка периодична с периодом 2".
Оператор удваивания S отображает Е" | в Е". Расстояние от Е" до Е
стремится к нулю как 5~п: d(T,n, E)/d(E"+i, Е) -> S при п -> оо. Для
некоторого однопараметрического семейства /),, проходящего через Е
трансверсально и достаточно близко к д, мы можем применить некоторый
ренормализованный оператор удваивания -7 для семейств, устанавливающий
значение параметра р:
= /й-v
(6.8.11)
6.8. Ренормализация и универсальность
431
Оператор & на семействах будет иметь устойчивую неподвижную точку,
олицетворяющую универсальное поведение предела последовательности
бифуркаций удвоения периода в семействе отображений, имеющих
невырожденную критическую точку. Отношение S расстояний между
последовательными бифуркациями не зависит от выбора семейства, оно было
измерено экспериментально для нескольких физических систем. Для
конкретных семейств имеем
5-г = Ит /Jn+i-М^ (68Л2)
и^оо Цп - fJ.n-1
где рп - такое значение параметра, при котором орбита периода 2й
испытывает бифуркацию удвоения периода, порождая орбиту периода 2И+1.
УПРАЖНЕНИЕ 6.8.3. Найдите численно последовательность бифуркаций удвоения
периода для вынужденных колебаний осциллятора Дуффинга х + ах - (Зх + +
х3 = 7 cos u>t для значений (3 = 1 и (3 = 0. Вычислите для этого примера
число 5. (Подсказка: см. Фейгенбаум [1980].)
Рис. 6.8.5. /2", ц е Вп.
С хаотической стороны от Е имеется другая последовательность поверхностей
Вп, представляющих слияние групп', если / е Вп, то существует окрестность
точки с, для которой /2 имеет график, подобный изображенному на рисунке
6.8.5, где некоторый инвариантный субинтервал J С I отображается таким
образом, что /2 (J) покрывает J ровно дважды. В функциональном
пространстве поверхность Вп можно охарактеризовать как множество
отображений, топологическая энтропия которых равна 2_и1п2. Оператор
удваивания отображает Вп+1 в Вп, поэтому поверхности Вп также
накапливаются к Е со скоростью 5~п, но "сверху", в соответствии с
рисунком 6.8.4.
432
Глава 6
В последующей работе Фейгенбаум [1979] заметил, что спектр мощности,
ассоциирующийся с последовательностями бифуркаций удвоения периода, имеет
специфическую структуру (см. Nauenberg, Rudnick [1981]). Как слияние
групп, так и спектральные свойства могут быть определены из
экспериментальных данных. Оператор удваивания 57 можно применять также к
диссипативным многомерным отображениям без изменения его неподвижной
точки д или того факта, что его линейная часть имеет единственное
неустойчивое собственное значение.
