Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей - Гукенхеймер Дж.
ISBN 5-93972-200-8
Скачать (прямая ссылка):
области [-1,1], дается формулой
УПРАЖНЕНИЕ 6.8.1. Используйте результаты вышеприведенного анализа
непрерывной системы х - ц - х2 для оценки времени, проводимого
траекториями дискретной системы х -"¦ /"(ж) - fi+x - x2 вблизи начала
координат для малых ц < 0.
Второй метод анализа траекторий отображения /Дж) = [i + х - х2,
проходящих вблизи начала координат, знакомит нас с идеей ренормализации.
Рассмотрим квадрат отображения /), :
arctg (^==) _arctg(y=^) =tv/3^-
(6.8.2)
откуда при /г -> 0 получаем
t ~ тт/ХЧ-
(6.8.3)
/д ° /Дя) = Ц + {ц + х -х2) - (ц + Х - X2)2
(2 - ц)/г + (1 - 2ц)х - (2 - 2ц)х2 + 2х3 - х4. (6.8.4)
6.8. Ренормализация и универсальность
427
Если для прохождения траектории отображения вблизи 0 требуется Х(ц)
итераций, то приблизительно Х(ц)/2 итераций потребуется для этого
траектории отображения /2. Сохраняя лишь доминирующие члены низшего
порядка, имеем
~ 2ц + х - 2х2. (6.8.5)
Теперь перемасштабируем х и /г так, чтобы привести коэффициенты в
соответствие с предыдущей нормальной формой. Для этого положим X =2х и М
= 4/1. В итоге получим уравнение
дм(Х) = 2[/2//4(|)] "М + Х-Х2. (6.8.6)
Это приводит к рекурсивному соотношению Х(ц)/2 " Х(4ц), приводящему к
оценке Х(4_") ~ 2" или Х(ц) ~ Ц-1/2, что согласуется с нашим
предшествующим анализом.
Анализ такого типа можно продолжить, отыскивая точное решение
функционального уравнения
flix) = Rafs^Ra-iX), (6.8.7)
где Ra - оператор умножения на а, дающий изменение масштаба для х,
ассоциированного с "удвоенным" оператором @/ = /2, а 5 есть изменение
масштаба для параметра p.
УПРАЖНЕНИЕ 6.8.2. Покажите, что решения для непрерывной нормальной формы
х = д + х2 действительно приводят к точным решениям уравнения (6.8.7)
вида /ц(х) = р1//2 tg(д1//27 + arctg(p_1//2a;)). (Заметьте, что для
удобства мы изменили в уравнении (6.8.1) знак при х2.)
Существует также метод "половины пути" для точного решения упражнения
6.8.2. Если ц = 0, уравнение (6.8.7) имеет решения, которые задаются
дробно-линейным отображением д(х) = х/(1 + ах). Чтобы это увидеть,
достаточно просто вычислить
= тткд = (6°>
Теперь добавим к этому критическому / возмущение вида д+д(х). Замечая,
что д'(0) = 1, получим
Ii + д{д + д(х)) ~ ц( 1 + д'{д{х))) + д2(х) " |(4ц + д{2х)), (6.8.9)
где д{х) мало. Вновь мы приходим к выводу, что число итераций, требуемое
для прохождения около нуля, имеет порядок (-/г)-1/2.
428
Глава 6
Возвращаясь к проблеме перемежаемости для одномерного отображения /м: / -
> / вблизи бифуркации "седло-узел", происходящей при /г = О, отметим,
что, как мы увидели, продолжительность промежутка времени, требуемого для
прохождения "горлышка бутылки" на рисунке 6.8.1, является величиной
порядка /г '/2. Поскольку данное отображение не взаимно однозначно,
возможно попадание траектории сразу в середину "бутылочного горлышка" без
прохождения всего пути от начала. Когда это происходит, продолжительность
времени, проводимого в "бутылочном горлышке", уменьшается. Результатом
этого эффекта является существенное различие в продолжительностях
интервалов времени, проводимых траекторией внутри "бутылочного горла" при
последовательных визитах. Это различие можно моделировать при помощи
предположений о распределении точек, попадающих в "бутылочное горло".
Однако инвариантные меры для одномерных отображений могут быть очень
сложными, так что простые модели могут неадекватно их аппроксимировать.
Это усложняет полный анализ распределения интервалов времени, на которых
система является приблизительно периодической.
2. Последовательности удвоения периода
Первое (и пока наиболее поразительное) приложение методов ренормализации
связано с последовательностями бифуркаций удвоения периода, посредством
которых одномерные отображения становятся хаотичными. Мы опишем
геометрию, ассоциированную с критическим отображением, разделяющим
хаотические и нехаотические отображения в некотором семействе, а затем
приведем анализ Фейгенбаума [1978], из которого следует универсальность
поведения при этом переходе. В данном разделе мы считаем I = [0,1] С R.
Некоторое отображение f:I -> I, имеющее единственную критическую точку с
и лежащее между хаотическим и нехаотическим отображениями, обладает
особенной перемешивающей последовательностью, отражающей следующее
свойство: точки /*(с) и /г+2 (с) лежат по одну сторону от с, если только
i = 2к, к ? Z; в противном случае эти точки лежат по разные стороны от с.
Если отображение / имеет отрицательный шварциан, то его неблуждающее
множество состоит из одной неустойчивой периодической орбиты периода 2к
для каждого к, а также канторова множества Л, изображенного на рисунке
6.8.2, где числа i отмечают точки /г(с).
Канторово множество Л содержится в объединении 2" интервалов [/*(с), /г+2
(с)], 1 ^ г ^ 2". Пересечение этих множеств для всех п > О есть Л. На
каждом шаге этой конструкции интервалы [/*(с), /г+2"(с)], 1 ^ г ^ 2"
перераспределяются среди друг друга, и для траекторий, стартующих вблизи
