Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей - Гукенхеймер Дж.
ISBN 5-93972-200-8
Скачать (прямая ссылка):
количественными предсказаниями, касающимися перехода к хаосу в физических
системах. Некоторые из этих предсказаний были подтверждены с удивительной
точностью в таких физических экспериментах, как конвекция Рэлея-Бенара
(Libchaber, Mauer [1982]). Замечательным явилось то обстоятельство, что
теоретический анализ бифуркаций удвоения периода, описанный в данном
разделе, привел к этим совершенно неожиданным предсказаниям,
материализовавшимся затем в экспериментах с системами, имеющими
бесконечное число степеней свободы.
Мы опишем три проблемы, связанные с методами нормализации, анализ которых
можно выполнить в терминах одномерных отображений. Мы представим их не в
исторической последовательности, а в порядке возрастающей математической
сложности. Первый пример, предложенный Pomeau, Mannevil [1980], касается
определенной "перемежаемости", обнаруженной в динамике одномерных
отображений. Во втором примере речь идет о последовательностях бифуркаций
удвоения периода, открытых Фейгенбаумом [1978] и уже описанных кратко в
разделе 6.3. Последний пример связан с разрушением квазипериодичности в
семействе отображений окружности с фиксированным числом вращения. Этот
пример изучался несколькими различными группами, из которых следует
отметить Feigenbaum et al. [1982] и Rand et al. [1982]. Мотивом к нему
послужило изучение разрушения КАМ-торов в гамильтоновой системе с
параметрами (см. раздел 4.8). Эти три обсуждаемые здесь проблемы далеко
не исчерпывают списка задач, решаемых при помощи методов ренормализации.
Мы выбрали их потому, что они кажутся наиболее естественными в контексте
нелинейных колебаний.
Философия, лежащая в основе идеи ренормализации, состоит в существовании
в теории динамических систем явлений, повторяющихся в различных
масштабах. Систематически подбирая масштабы таким образом, чтобы
наблюдаемое явление оставалось постоянным, можно получить интересные
системы, демонстрирующие как раз самоподобие, об изучении
6.8. Ренормализация и универсальность
425
которого идет речь. В некоторых случаях это самоподобие имеет довольно
простой вид, ассоциирующийся с некоторой непрерывной системой, поток
которой переходит от одной изучаемой структуры к другой, а в других
случаях происхождение самоподобия до сих пор сохраняет ауру
математической мистерии. Строгие аргументы, касающиеся
последовательностей удвоения периода, требуют высокоточной арифметики, но
они не приводят к той очевидной неизбежности данного явления, которая
должна следовать из удовлетворительного математического доказательства
(Lanford [1982]). Представленные здесь наброски трех примеров далеко не
полны, но они должны предоставить читателю отправную точку для
ознакомления с цитируемой в данном разделе литературой.
1. Перемежаемость
Рассмотрим одномерное отображение /: I -> I с отрицательной производной
Шварца и единственной критической точкой с. Если отображение f " имеет
неподвижную точку р, то орбита точки с стремится к р. Кроме того, если
(fn)"(p) ф 0, то орбита точки р устойчива с одной стороны и неустойчива с
другой. Далее, отображение / можно вложить в некоторое
однопараметрическое семейство /),, для которого /о = / и которое
испытывает при р = 0 бифуркацию "седло-узел" вдоль орбиты точки р. Теперь
изменим р так, чтобы получить некоторое отображение д = /т, не имеющее
периодических орбит вблизи орбиты точки р. Идея Pomeau, Manneville
[1980] состоит в том, что орбита д проведет очень длительное время,
следуя приблизительно вдоль периодической траектории точки р для /.
Продолжительность этих эпизодов почти периодического поведения можно
соотнести с р\. Pomeau, Manneville назвали эти эпизоды почти
периодического поведения перемежаемыми, так как они представляют
регулярное поведение, имеющее место для различных периодов времени,
разделенных (возможно) хаотическими участками орбиты.
Для более подробного изучения масштабного поведения рассмотрим нормальную
форму для бифуркации "седло-узел" для некоторого дискретного отображения:
/Дх) = р + х - х2. Нас интересует изучение динамики УД вблизи 0 для малых
по абсолютной величине р < 0, см. рисунок 6.8.1. Орбита, начинающаяся при
х > 0, будет вынуждена провести много итераций вблизи точки х = 0, прежде
чем она перейдет в область, где х < 0 и величина f(x) - х уже не является
малой. Мы хотим установить, что число итераций, проведенных вблизи х = 0,
асимптотически пропорционально \р\~1/2 при р -> 0. В данной проблеме это
можно сделать двумя способами, и мы опишем оба.
Первый метод связан с заменой дискретного уравнения /Дх) = р + + х - х2
на непрерывный вариант данной задачи, т. е. дифференциальное
426
Глава 6
/
/
/
/"(*>
/
/
Рис. 6.8.1. Вблизи седловой точки.
уравнение
X = (I - х2.
(6.8.1)
Возьмем /1 < 0 так, что (6.8.1) не имеет состояний равновесия, и решим
уравнение (6.8.1) при начальном условии ж(0) = xq. В итоге получим
Отсюда следует, что продолжительность времени, проводимого траекторией в
