Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гукенхеймер Дж. -> "Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей" -> 15

Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей - Гукенхеймер Дж.

Гукенхеймер Дж., Холмс Ф. Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей — М.: Институт компьютерных исследований, 2002. — 560 c.
ISBN 5-93972-200-8
Скачать (прямая ссылка): nelineyniekolebaniya2002.djvu
Предыдущая << 1 .. 9 10 11 12 13 14 < 15 > 16 17 18 19 20 21 .. 199 >> Следующая

С / 1 Im it
1 / -"|Я|=
х2 D С
-Re
г)
DB'
А'В'
А В
С
А
В' А'
Ъ)
C'D'
D С
А В

,/я2 4а
1 * 1 \
D С
о)
А'В'
!
D' С'
А В
Рис. 1.4.2. Сохраняющие ориентацию (а), (Ь) и меняющие ориентацию (с)
линейные отображения
Ai о'
ж ^ ^ о а2
Положения собственных значений относительно единичной окружности на
комплексной плоскости показаны над изображениями структур орбит. В каждом
из случаев ориентированный треугольник ABCD отображается в A'B'C'D1.
В качестве заключительного примера двумерного отображения с довольно
сложной динамикой рассмотрим простое линейное отображение
(у) м (l 2) (у) ' ^ У)ет2 = r2/Z2, (1.4.5)
где фазовым пространством является двумерный тор. На плоскости
(накрывающее пространство) мы имеем просто седловую точку с собствен-
12 / (l±i/5)\T
ными векторами v ' = II,-----------\ , отвечающими собственным
зна-
чениям Ау2 = ^ ^2^ ¦ ^ак как от°бражение линейно, то VCs(0) = Еа, Wu(0) =
Еи, поэтому span| ^1, } пРеДставляет собой неустой-
чивое многообразие, a spanj ^1, --| - устойчивое многообразие. Однако
нашим фазовым пространством является тор Г2, полученный пу-
42
Глава 1
тем отождествления точек, координаты которых отличаются на целые числа.
Отображение корректно определено на Т2, поскольку оно сохраняет
периодическую решетку. Любая точка единичного квадрата [0,1) х [0,1),
отображаемая в другой квадрат, перемещается назад в исходный квадрат;
например, если (х,у) = (-1,4,+1,2), мы устанавливаем (х,у) = = (0,6; 0,2)
(см. рис. 1.4.3). Таким образом, неустойчивое многообразие
"выходит из квадрата" в точке [-------- , 1 ] и возникает
вновь, с тем
41 + V5) 1
же угловым коэффициентом, в точке (-----------------,0), затем выходит в
точ-
/ (^/5 - 1)ч (1 + ^)
ке (1, -----J и т.д. Поскольку угловые коэффициенты Ws и Wu ирра-
/(1±Уб)\
циональны I I, эти многообразия плотны на единичном квадрате
(или плотно обматывают тор). Таким образом, каждое из многообразий
приближается само к себе произвольно близко, поэтому оно не является
вложенным подмногообразием Т2.
Рис. 1.4.3. Линейное отображение на торе (гиперболический торический
автоморфизм): (а) на покрывающем пространстве R2; (Ь) на Т2.
УПРАЖНЕНИЕ 1.4.5. Покажите, что отображение (1.4.5) имеет счетное
множество периодических точек и что множество таких точек плотно в Т2.
(Сначала покажите, что точка х периодична тогда и только тогда, когда обе
компоненты х - рациональные числа с одинаковыми знаменателями.)
Упражнение 1.4.6. Опишите множество Л = !!/s(0) П Wu(0), лежащее в
пересечении инвариантных многообразий линейного отображения на торе.
Какой
1.4. Линейные и нелинейные отображения
43
вывод, по вашему мнению, можно сделать отсюда о структуре "типичной"
орбиты? (Подсказка: см. Chillingworth [1976], стр. 235-237.)
Arnold, Avez [1968, стр. 5-7] предложили изящную иллюстрацию отображения
на торе. Дополнительную информацию об инвариантных множествах таких
отображений можно также найти в главе 5.
Рис. 1.4.4. Гомоклинические орбиты.
Этот пример может показаться довольно искусственным, но, как мы увидим,
многие интересные с физической точки зрения системы обладают подобными
свойствами. В следующих главах мы увидим, что отображение Пуанкаре,
ассоциированное с уравнением Дуффинга с периодическим возбуждением и
отрицательной линейной жесткостью
х + ах - х + х3 =/3 cosujt, (1.4.6)
являющееся нелинейным диффеоморфизмом на плоскости, обладает
гиперболической седловой точкой р, у которой устойчивое и неустойчивое
многообразия пересекаются трансверсально, в некотором смысле похоже на
рассмотренное выше отображение тора (ср. рис. 1.4.4). Довольно легко
увидеть, что если существует одна точка q е Wu{p) П W8 (р), отличная от
р, то должно существовать бесконечное множество таких гомоклинических
точек: действительно, Gn(q) -> р при п -> ±оо, и эта сходимость для малых
значений q - р описывается линейной системой. Более того, если
отображение сохраняет ориентацию (как наши отображения Пуанкаре), то
между двумя гомоклиническими точками q, G(q) должна располагаться хотя бы
одна дальнейшая точка из Wu(p) П W8(p) (обозначенная q на рис. 1.4.4).
Орбита {G"((/)} точки q называется гомоклинической орбитой, она играет
важную роль в глобальной динамике отображения. В частности, весьма
извилистый характер глобальных многообразий Wu (р) и W8 (р) в окрестности
точки р обуславливает чувствительную зависимость орбиты {G(tm)(a;o)} от
начального условия xq, поэтому наличие гомоклинических орбит ведет к
появлению сумасбродного поведения. Это лежит в основе хаотического
44
Глава 1
поведения, продемонстрированного на примерах в главе 2 и являющегося
предметом большей части глав 5 и 6. Если устойчивое и неустойчивое
многообразия W8{p\), Wu(p2) двух различных неподвижных точек
пересекаются, получающаяся в результате орбита называется гетероклинной.
УПРАЖНЕНИЕ 1.4.7. Покажите, что устойчивое многообразие седловой точки
двумерного отображения не имеет самопересечений.
Предыдущая << 1 .. 9 10 11 12 13 14 < 15 > 16 17 18 19 20 21 .. 199 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed