Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей - Гукенхеймер Дж.
ISBN 5-93972-200-8
Скачать (прямая ссылка):
гиперболично и топологически эквивалентно одностороннему сдвигу из двух
символов (Guckenheimer [1979]). Мы будем изучать толщину Л" при помощи
такого вспомогательного разрывного отображения gt, для каждого h^,
которое все еще имеет своим инвариантным множеством Л,,. Для того чтобы
определить эти отображения gr. введем дополнительные обозначения. Опуская
индекс р, обозначим q неподвижную точку отображения h из интервала (0,1)
и р е I - другую точку, для которой h(p) = q. Запишем I = К\ U L U К2,
где К\ и К2 - компоненты h~1[0,1], a L = h~1( 1, 00).
422
Глава 6
О Р Кх L K2q 1
Рис. 6.7.9. Отображение h. Две компоненты h 1(1) П [р, q] выделены
жирными линиями.
Для точек, лежащих в /i_1(7) П [p,q], определим д{х) = hn(x), где п
выбирается как наименьшее натуральное число, для которого hn(x) <G [р,
q]. Отображение д называется отображением, индуцированным h. Оно имеет
счетное множество разрывов в точках х, для которых hn (х) = р и hk (х) <
р для 1 < к < п. ш
Мы утверждаем, что искажение отображения g равномерно ограничено.
Определение 6.7.1. Пусть g - некоторое гладкое одномерное отображение,
строго монотонное на каждой компоненте непрерывности. Искажение
отображения g определяется как sup(gr(у)/gr(х)), где верхняя грань
берется по таким парам (х,у), для которых g непрерывно в промежутке
[х,у].
У
Заметим, что In(gf (у)/gf(xj) = f (gff(xi)/gf(?)) d?. Если g(z) = hn(z)
X
на некотором интервале J = \x, y\, to
i hk(y)
f( \ n - 1 n -1 f h,r(?\
k=° k=0hk(x)
Мы получим равномерную границу для последней величины, не зависящую от у
и п. Решающий момент в такой оценке связан с определением длины
промежутка J в зависимости от п. Если п велико, то большинство итераций
hk(J) для к < п лежит вблизи нуля, что следует из определения д.
6.7. Дикие гиперболические множества
423
Обозначим Л > 1 такое число, для которого h'{0) > Л. Тогда существует
такая постоянная с, что \(hk)' (h(x))\ > с\к для 0 < к < п - 1. Если бы
/г оставалось отделенным от нуля, этого было бы достаточно для получения
п - 1
оценки на общую длину 1J hk(J), и наша оценка была бы завершена, по-
к = О
скольку величина h'(?) не приближалась бы к нулю. Однако если д = 0, то
h'(?) -> 0 и требуются более тонкие оценки длины. Допустим, что д = 0,
у
х < у < с, hn(x) = q и hn(y) = р. Нам нужно оценить f {h"(?)/h'(?)) d?.
X
С точностью до ограничивающих коэффициентов, уравнения для определения J
таковы: hn (х) =q = Л" (с-х)2, hn(y) = р = А" (с-у)2. Мы приходим к
выводу, что А" пропорционально (с - х)~2 и (с - у)-2 и что (у - ж)(2с - -
(ж + у)) пропорционально Л-" или (с -у)2. Так как 2с- (х + у) > 2(с -у),
мы приходим к выводу, что величина (у - х)/(с - у) ограничена, а граница
не зависит от п, и что длина J является величиной 0(/i'(?)), ( ? J.
n -1 hk (у)
Следовательно, величина / h"(?)/h'(?) равномерно ограничена, а
k = 0hk(x)
граница не зависит от к и п.
Теперь применим к отображению д аргументы Newhouse [1979] о толщине. Даже
если д = 0, отображение д гиперболично в своей области определения.
Оценка искажения, подобная полученной выше, может быть применена к
итерациям д. Это позволяет прийти к выводу о существовании множителя D >
0, независящего от п, такого, что для некоторой компоненты отображения
д~п{1) выполнено соотношение l(g~n(Ki))/l(g~n(L)) > > Dl(Ki)/l(L). Так
как l(Ki)/l(L) -> оо при д -> 0, то толщина инвариантного множества
отображения д^ бесконечно велика при д -> 0. Инвариантное множество A/t
отображения /д, состоит из объединения Г(, и (Г/i)- Поскольку h~l
является (двузначной) функцией, производная которой отделена от нуля, то
т(Л^) -> оо при д -> 0. Это доказывает лемму. ¦
Лемма 6.7.4. Пусть h: I -> / - отображение с отрицательной производной
Шварца, для которого h(0) = h(l), и имеющее единственную невырожденную
критическую точку с, для которой h(c) = 1, h'(0) > 1. Тогда h имеет
гиперболические инвариантные множества Ап, толщина которых т(Л") -> оо
при п -> оо.
Доказательство. Используем ту же конструкцию, что и в лемме 6.7.3. В
качестве Л" возьмем подсдвиг конечного типа, содержащий все
последовательности за исключением таких, которые содержат блок из п
последовательных нулей. Индуцированное отображение g гиперболично, а Л"
по по-
424
Глава 6
строению являются инвариантными множествами для отображения д,
ограниченного на дополнении к некоторой фундаментальной системе
окрестностей точки с.
6.8. Ренормализация и универсальность
В данном разделе мы познакомимся с методом ренормализации, который
применялся для вывода определенных универсальных свойств, ассоциирующихся
с глобальными бифуркациями, обнаруженными в некоторых системах при
переходе к хаосу. Мотивация к этому методу возникает при использовании
ренормализации для изучения проблем критических явлений в физике сплошной
среды (Wilson [1971а,b]). Один из поразительных аспектов этой теории
состоит в том, что она позволяет получить числа, которые можно считать
