Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей - Гукенхеймер Дж.
ISBN 5-93972-200-8
Скачать (прямая ссылка):
множества систем, не имеющих устойчивых периодических орбит, но
обладающих вместо этого странными аттракторами. Наличие значений
параметра, при которых стоков не существует, пока не установлено. Мы
знаем несколько примеров систем, для которых можно доказать существование
касаний, таких как уравнение Дуффинга, исследованное при помощи теории
Мельникова в разделах 4.5-4.6. В этих примерах конструкция Newhouse
позволяет установить наличие стоков очень большого периода, но их области
притяжения необходимо очень малы. Возможно, это служит причиной
необнаружения таких стоков в экспериментах, и даже высокоточные численные
расчеты позволяют найти лишь некоторые из них. Гипотеза Newhouse
[1979] о том, что аттрактор Хенона является просто долгопериодическим
стоком, остается открытой.
В заключение данного раздела упомянем о связи результатов одномерного
анализа из раздела 6.3 с изучением гомоклинических бифуркаций. В этом и
предшествующем разделах мы видели, как вблизи точки гомокли-нического
касания ро для семейства диффеоморфизмов /),, обладающего диссипативной
седловой точкой р, некоторая высокая степень отображе-ния f j'~h может
быть аппроксимирована одномерным отображением, являющимся сингулярным
пределом семейства диффеоморфизмов вида (6.6.7)
420
Глава 6
(или аналогичного). Заметим, что для такого семейства при п -> оо
определитель
так как рХ < 1. Поэтому для больших п целесообразно рассматривать
семейства отображений вида
где д^(у) - некоторое семейство квадратичных отображений типа
рассмотренных в разделе 6.3. По сути дела, является промасштабированным
вариантом отображения (6.6.7), для которого начало координат перенесено в
точку (рпхо, уо), а ? играет роль определителя (Зр(р\)п. Таким образом,
при ? -> 0 уравнение (6.7.5) моделирует поведение последовательно
возрастающих степеней f(tm)+k отображения /д.
Можно показать, что некоторые, но не все свойства одномерного семейства д
сохраняются при малых |? для диффеоморфизмов Fe^ (см. Guckenheimer [1977]
и van Strien [1981]). В частности, сходящиеся последовательности
бифуркаций удвоений периода для дд имеют место также для FEtfl, где р
выбирается достаточно малым для каждого фиксированного ? < 1 (см. Collet
и др. [1981]). (В упражнении 6.6.1 мы просили читателя построить в явной
форме выражение для первой такой бифуркации удвоения периода для f(tm)+k.)
Имеются также другие примечательные значения параметра р{1), для которых
орбита критической точки {fl^)(c)} натыкается на некоторую неустойчивую
периодическую точку периода I для одномерного отображения. Как известно,
в таких случаях i (суженное на некоторый конечный набор подынтервалов)
сопряжено с некоторым кусочно-линейным отображением (Guckenheimer
[1979]). Например, как мы видели в разделе 5.6, для семейства отображений
при р = 4 будет gf (1/2) = 0, при этом на отрезке [0,1] оно сопряжено с
отображением
(см. Ulam, von Neumann [1947] и раздел 5.6).
Можно показать, что для р, близких к таким значениям р(1), и малых ?
отображение F?jI1 имеет точку гомоклинического касания для некоторой
седловой точки периода I. Следовательно, Feф имеет дикое гиперболическое
множество (van Strien [1981], Holmes, Whitley [1983b]). Отсюда
det(D/"+fe) - (3p(p\)n -> 0,
(6.7.4)
F?,"{x,y) = (-y, ex + g^y))
(6.7.5)
9ц'- У ^ - У)
(6.7.6)
(6.7.7)
6.7. Дикие гиперболические множества
421
следует существование сильно сжимающих диффеоморфизмов, произвольно
близких к квадратичным отображениям и имеющих бесконечно много устойчивых
периодических орбит, тогда как теорема Singer (теорема 6.3.1) показывает,
что данное квадратичное отображение имеет не более одной устойчивой
периодической орбиты.
В действительности, для сингулярного множества FqjIM не может
существовать аналога дикого гиперболического множества, так как, несмотря
на возможность построения гиперболических множеств большой (конечной)
устойчивой толщины, неустойчивая толщина всех множеств необходимо равна
нулю. Поэтому произведение устойчивой и неустойчивой толщин всегда равно
нулю, и аналога сохраняющегося касания не существует. Благодаря этому,
поведение данного диффеоморфизма разительно отличается от поведения
одномерного отображения, хотя последовательность бифуркаций удвоения
периода и седло-узлов, происходящих для gt, в соответствии с теорией
перемешивания, снабжает нас руководством к пониманию динамики сильно
сжимающих диффеоморфизмов, что полезно при изучении гомоклинических
бифуркаций.
Добавление к разделу 6.7: леммы о толщине для одномерных диффеоморфизмов
Лемма 6.7.3. Пусть h^: [0,1] -> R - некоторое одномерное семейство
отображений с отрицательной производной Шварца и следующими свойствами'.
1) hfj,(0) = /1Д1) = 0 и /(ДО) > 1 для всех р;
2) hp имеет единственную невырожденную критическую точку с, причем /i/Дс)
> 1, где равенство достигается при р = 0. Тогда толщина неблуждающих
множеств для h^ неограничена при р -> 0.
Доказательство. Для р > 0 неблуждающее множество отображения hfj,
