Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей - Гукенхеймер Дж.
ISBN 5-93972-200-8
Скачать (прямая ссылка):
существуют малые возмущения (поднимающие или опускающие график), которые
делают его гиперболичным при условии выполнения подходящих гипотез (в
частности, если h имеет отрицательную производную Шварца). Устойчивую
толщину предельных множеств для этих возмущений h можно сделать сколь
угодно большой, как будет показано в дополне-
6.7. Дикие гиперболические множества
417
Рис. 6.7.7. Сингулярное отображение h.
нии к данному разделу. Следовательно, взяв п достаточно большим, можно
найти такое возмущение /, что fn(Rn) имеет гиперболическое множество Л2 С
11п с большой устойчивой толщиной. Мы можем также сделать так, что W&(Л2)
будет иметь точку касания с Wu(Л1).
Главным шагом к отысканию диффеоморфизма с бесконечным числом стоков
является построение Л2 для возмущения со следующими свойствами:
(1) t"(Ai)-ts(A2) > 1.
(2) Оба множества 1TS(A2) П Wu(K)i и И(tm) (Л2) П 1Ts(A)i имеют точки
трансверсального пересечения, не содержащиеся в Ai U Л2.
(3) Ws(Л2) и 1П"(Л)2 имеют точку касания.
Мы уже продемонстрировали свойство (1) (напомним, что т^Аг) непрерывно
зависит от возмущений /). Свойство (2) является следствием того факта,
что кривые в 1П"(Л2) и 1П5(Л2) лежат в окрестности t вблизи к Wu(p) и
Ws(p) соответственно. Поскольку р ? Л1; а Л2 лежит на той же стороне от
Ws(p), что и Л15 то мы получаем требуемое пересечение (рисунок 6.7.8).
Следующим шагом в данной конструкции является обобщение теоремы Смейла-
Биркгофа [1963, 1967], см. раздел 5.3. Используя трансвер-сальные
пересечения (2), мы найдем гиперболическое инвариантное множество А3 D Ai
U Л2, для которого ти(А3) ¦ ts(А3) > 1. Значит, последующие возмущения /
будут: иметь гиперболические инвариантные множества вблизи А3, для
которых гомоклинические касания сохраняются.
Обращаясь к рисунку 6.7.8, мы можем рассмотреть вопрос о рождении касаний
между Ws(Л2) и 1Г"(Л2) под действием некоторого возмущения,
"сдерживающего" образ fn(R). Таким способом мы получим дикое
гиперболическое множество.
418
Глава 6
часть /"(/?)
Рис. 6.7.8. Инвариантные множества Л] и Лг и пересечение их многообразий.
В предыдущем разделе мы доказали, что если /о имеет гиперболическую
неподвижную точку р с собственными значениями р < 1 < X < р~г и точку ро
касания Ws(p) и Wu(p), то существуют возмущения /о, имеющие притягивающие
периодические орбиты, лежащие вблизи орбиты точки ро- Последовательно
комбинируя эту конструкцию с описанной выше конструкцией диких
гиперболических множеств, можно получить диффеоморфизмы со счетным числом
притягивающих периодических орбит.
Подытожим вышеприведенные рассуждения: начав с /о, перейдем при помощи
возмущения к близкому отображению f\, обладающему диким гиперболическим
множеством. Как показал Newhouse [1980], f\ можно возмутить до
отображения /2, имеющего касания устойчивого и неустойчивого многообразий
для единственной периодической орбиты. В его доказательстве
использовалась плотность периодических орбит в Л3, позволяющая найти
орбиту, содержащую две точки, лежащие вблизи точек тангенциального
пересечения устойчивого и неустойчивого многообразий. Затем он перешел от
f\ к возмущенному отображению /2, для которого устойчивое и неустойчивое
многообразия для периодической орбиты имеют тангенциальное пересечение.
Далее он перешел от /2 к возмущению /3, имеющему устойчивую периодическую
орбиту, опираясь при этом на аргументы, приведенные в предыдущем разделе.
При возмущении /1 до /3 дикое гипербо-
6.7. Дикие гиперболические множества
419
лическое множество Лз не разрушается. Поэтому существует такое е > О, что
(С2, е)-возмущения отображения /3 имеют как устойчивую периодическую
орбиту, так и дикое гиперболическое множество. Повторяя эту процедуру для
е -> 0, получим диффеоморфизмы, имеющие бесконечно много притягивающих
периодических орбит. Более подробно данный вопрос изложен в работах
Newhouse [1979, 1980]. Конечный результат таков:
Теорема 6.7.2. Пусть р - гиперболическая седловая точка Сг-диффеоморфизма
/ в М2, для которой det [Df (р)) < 1. Допустим, что Wu(p) и Ws(p)
касаются в некоторой точке ро. Тогда в сколь угодно малой Сг-окрестности
/ существует диффеоморфизм /, имеющий дикое гиперболическое множество
вблизи орбиты точки ро и бесконечно много устойчивых периодических орбит.
Из этих теорем следует, что можно ожидать от семейства двумерных
диффеоморфизмов /д, имеющего гомоклиническое касание между устойчивым и
неустойчивым многообразиями диссипативной седловой точки (или
периодической орбиты) для некоторого значения параметра р = ро, наличия
бесконечного множества периодических стоков для близких значений
параметра. Действительно, конечные множества периодических стоков
сохраняются на интервалах значений параметра. Однако, так же как и в
случаях отображений интервалов и диффеоморфизмов окружности, наряду с
сохранением систем, имеющих стоки, на открытых множествах значений
параметра могут существовать также относительно большие (измеримые)
