Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей - Гукенхеймер Дж.
ISBN 5-93972-200-8
Скачать (прямая ссылка):
точка для G (G(x) = х) и DG(x) не имеет собственных
1.4. Линейные и нелинейные отображения
39
W\x)
• "
W"(x)
¦Е"
Рис. 1.4.1. Инвариантные многообразия и орбиты для отображения G: Rn -"¦
Rn. такой орбиты определяется линеаризованным отображением DGk(po), или,
Как и для потоков, поведение линейного отображения (1.4.1) определяется
собственными значениями и собственными векторами матрицы В. Поскольку в
учебниках по дифференциальным уравнениям и нелинейным колебаниям редко
обсуждаются отображения, мы включили здесь некоторые подробности. Для
одномерного отображения, когда В = Ъ есть скаляр, а орбита точки {pj}J^0
задается просто геометрической прогрессией pj = = VpQ, существует четыре
"общих" случая и три "необычных", перечисленных ниже в таблице 1.4.1.
Ниже в этой книге мы сформулируем точно, что имеется в виду под этими
терминами.
Вообще говоря, тип устойчивости неподвижной точки х = 0 определяется
абсолютной величиной собственных значений матрицы В. Если для всех
собственных значений | Ay | < 1, мы имеем сток, если | Ay | > 1 для
некоторых собственных значений и | Л* | < 1 - для других, то седловую
точку, а если | Лу | > 1 для всех собственных значений, то источник. Если
для некоторых собственных значений | Лу = 1, то в направлениях ,
соответствующих этим собственным значениям, норма сохраняется (если
только эти значения не являются кратными, с нетривиальными жордановыми
блоками).
1.4. Линейные и нелинейные отображения
39
W\x)
• "
W"(x)
¦Е"
Рис. 1.4.1. Инвариантные многообразия и орбиты для отображения G: Rn -"¦
Rn. такой орбиты определяется линеаризованным отображением DGk(po), или,
Как и для потоков, поведение линейного отображения (1.4.1) определяется
собственными значениями и собственными векторами матрицы В. Поскольку в
учебниках по дифференциальным уравнениям и нелинейным колебаниям редко
обсуждаются отображения, мы включили здесь некоторые подробности. Для
одномерного отображения, когда В = Ъ есть скаляр, а орбита точки {pj}J^0
задается просто геометрической прогрессией pj = = VpQ, существует четыре
"общих" случая и три "необычных", перечисленных ниже в таблице 1.4.1.
Ниже в этой книге мы сформулируем точно, что имеется в виду под этими
терминами.
Вообще говоря, тип устойчивости неподвижной точки х = 0 определяется
абсолютной величиной собственных значений матрицы В. Если для всех
собственных значений | Ay | < 1, мы имеем сток, если | Ay | > 1 для
некоторых собственных значений и | Л* | < 1 - для других, то седловую
точку, а если | Лу | > 1 для всех собственных значений, то источник. Если
для некоторых собственных значений | Лу = 1, то в направлениях ,
соответствующих этим собственным значениям, норма сохраняется (если
только эти значения не являются кратными, с нетривиальными жордановыми
блоками).
40
Глава 1
Таблица 1.4.1. Поведение линейного отображения х -" Ъх. Случай
Описание Эскиз
р 1 0 Ра Ра
Pi 0 Ра Ра
0 Pi Pi Ро
0 Ро Pi Р2
Pi 0 ! О . П< * ^
0= ~-Pr 1 Ро
1. Ь < - 1 Источник с переменой ориентации
2. & С ( - 1, 0) Сток с переменой ориентации
3. & С (0, 1) Сток, сохраняющий ориентацию
4. b > 1 Источник, сохраняющий ориентацию
j ^ ^ Ориентация меняется, все точки пери-
- ода 2
^ ^ _ о Все точки переходят в 0 при первой
итерации (необратимое)
^ ^ ^ Ориентация сохраняется, все точки ----------------------.-----
----------------2--
_____________неподвижные___________________________________2_________^i'
^
УПРАЖНЕНИЕ 1.4.3. Разработайте схематическую классификацию, подобную
таблице 1.4.1, для двумерного отображения х н-> Вх:
d _ (bll &12 " ^&21 &22
В основу классификации положите собственные значения матрицы В.
(Подсказка: за помощью можно обратиться к Hsu [1977] или Bernoussou
[1977].)
Если четное число собственных значений имеют отрицательные вещественные
части, то отображение х н-> Вх сохраняет ориентацию, а при наличии
нечетного числа собственных значений с отрицательной вещественной частью
оно изменяет ориентацию. Несколько двумерных примеров приведено на рис.
1.4.2 (частичный ответ к упражнению 1.4.3).
Для того чтобы почувствовать богатство и сложность возможного поведения
нелинейных отображений, читатель может поэкспериментировать со следующими
двумя примерами. Решения удобно строить на программируемом карманном
калькуляторе или миникомпьютере:
УПРАЖНЕНИЕ 1.4.4. Сколько неподвижных и периодических точек вы сможете
найти для следующего одномерного отображения и двумерного диффеоморфизма?
Обсудите их устойчивость. Параметр /г изменяйте в указанных границах.
Можете ли вы найти "бифуркационные" значений параметра, при которых
возникают новые периодические точки?
(a) х i-" рх(1 - х)\ р С [0,4],
(b) (х,у) ь" (у,~^х + ру-у3)- р е [2,4].
(Данная задача намного сложнее, чем кажется. Например, в случае (а) при
3,7 <р^4. Мы ждем, что вы лишь найдете в каждом из случаев по несколько
короткопериодических движений.)
1.4. Линейные и нелинейные отображения
41
