Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей - Гукенхеймер Дж.
ISBN 5-93972-200-8
Скачать (прямая ссылка):
периодических орбит. Здесь мы изучим, в каком порядке появляются
устойчивые периодические орбиты у однопараметрических семейств
отображений, удовлетворяющих вышеприведенным гипотезам.
Пусть I -> I - однопараметрическое семейство отображений, /г ? [цо,/и],
удовлетворяющее вышеприведенным гипотезам, а также следующим свойствам:
(В общем случае допускается зависимость критической точки с = с(р) от р.)
Мы назовем такое семейство полным семейством. Прототипом таких семейств
является квадратичное логистическое уравнение
(6.3.1)
[1980]):
(!) /до(с) = с;
(2)/М1(с) = 1.
/Дж) = рх(1 -ж); ре [2,4
(6.3.2)
1 По-видимому, имеется в виду образ. - Прим. перев.
6.3. Бифуркации одномерных отображений
381
Здесь с тождественно равно 1/2. В полной системе должно быть большое
число бифуркаций периодических орбит. Действительно, /Мо имеет в качестве
периодических орбит лишь две неподвижных точки, а /// имеет, по крайней
мере, 2й неподвижных точек для всех п > 0. Таким образом, при возрастании
у на интервале [/то, уi] часто возникают новые периодические орбиты.
Порядок, в котором они появляются, жестко диктуется одномерностью
отображения. Перейдем к описанию данного явления.
Алгоритм появления периодических орбит в полной системе можно описать,
используя символическую динамику. Структура и терминология, введенные для
этой ситуации Milnor, Thurston [1977], называют исчислением
перемешивания, или теорией перемешивания. Она описывает большую часть
структуры отдельного отображения и определяет большую часть
бифуркационной структуры семейства. Мы начнем с нескольких необходимых
определений. Наше символическое описание отображения / всегда будет
выражаться в терминах разбиения интервала I на два субинтервала /о = [0,
с), 1\ = (с, 1] и точку С = {с}. Интервалы Iq и Ii являются коленями /.
Если х ? I, то п-м адресом Ап(х), п > 0 является Iq, С или 1\, если fn(x)
е /о, fn(x) = с или fn(x) е 1\. Маршрутом А{х) точки х называется
последовательность {Ап(х)} ее последовательных адресов. Маршрут точки
/(с) будем называть перемешивающей последовательностью для /. (Ранее
перемешивающей последовательностью называли маршрут точки с.)
Определим знаки е(1ф), ?(С) и е(1\) как +1, 0 и -1 соответственно и
зададим инвариантную координату 0(a) = {0п(а)}п>о формулой
г га -1
0п(а) =
г=0
для любой символьной последовательности а. Будем писать в(х) = = в(А(х))
для х е I.
Инвариантные координаты можно упорядочить при помощи отношения -1\ < -С <
-/о < 0 < /о < С < 1\, связывающего знаковые символы, входящие в
определение 9{х), с последующим применением лексикографического
упорядочения к последовательностям. Это означает, что в(х) < в(у), если
существует такое п, что 9{(х) = 9{(у) для i < п и 9п(х) = 9п(у). Такое
упорядочение инвариантных координат отражает упорядочение точек на
прямой.
Предложение 6.3.2 (Milnor, Thurston [1977]). Если х < у, то 9(х) < 9(у).
Доказательство. Пусть х < у и в(х) ф в(у). Пусть п - наименьшее целое
число, для которого 9п(х) ф 9п(у). Тогда функция /* монотонна на
интервале J = [х, у] для i ^ п, так как с не лежит в /*(</) при i < п.
Заметим
382
Глава 6
затем, что /и убывает или возрастает на J, если знак вп(х) равен -1 или
+1. В обоих случаях, как легко проверить, вп(х)<еп(у). я
Данное предложение о монотонности инвариантной координаты позволяет
проводить подробные символические вычисления. Так как /(с) есть
максимальное значение некоторого отображения /, то 0(/(с)) больше, чем
инвариантная координата от f(x) для любой другой точки х. При помощи
некоторого критерия, основанного на этом наблюдении, можно получить
теорему существования траекторий с данным маршрутом. Заметим, что A(/(ж))
= сг(А(ж)), где а - отображение сдвига на последовательностях.
Следовательно, любая точка же/ удовлетворяет критерию в(ап(А(х))) ^
0(/(с)) для всех п > 0.
Итак, мы имеем следующее утверждение.
Теорема 6.3.3. Если а - некоторая символическая последовательность такая,
что 0(сги(а)) < 0(/(с)) для всех п ^ 0, то существует такая точка х, для
которой а = А(ж).
Перемешивающая последовательность для / по существу определяет все
символические последовательности, которые могут быть маршрутами для /.
Подробности можно найти в работе Guckenheimer [1979].
Данная теорема позволяет непосредственно определить структуру
бифуркационного множества, которое мы ищем. Мы можем определить для
символических последовательностей отношение порядка, пользуясь критерием
данной теоремы. Для двух данных символических последовательностей а и b
мы будем говорить, что а -< Ь, если существует такое целое число т > 0,
что в(ап(а)) < в(ап(а)) для всех п > 0. Мы можем сделать вывод, что из
наличия такой точки ж, для которой А (.г) = Ь для некоторого отображения
/, следует существование такого у, для которого А (у) = а. Изменения во
множестве маршрутов происходят только при изменениях в перемешивающих
последовательностях, а множество всех возможных перемешивающих
