Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей - Гукенхеймер Дж.
ISBN 5-93972-200-8
Скачать (прямая ссылка):
что должно иметь неподвижную точку р такую, что для близких к р значений
х будет f// (х) < х, причем график функции /(tm) (х) < х лежит выше графика
/(tm)0(х) < х при А > Ао и потому пересекает биссектрису вблизи точки р для
малых А - Ао, образуя неподвижную точку для /т. Доказательство третьего
свойства требует привлечения всей силы аналитических результатов Herman.
Наличие свойств (2), (3) приводит к ситуации, аналогичной описанной в
разделе 5.6 для теоремы Jakobson. Для типичного семейства некоторое
открытое плотное множество значений параметра порождает рациональные
числа вращения, однако дополнительное множество, для которого числа
вращения иррациональны, имеет положительную меру.
Данная теория допускает непосредственное приложение к бифуркации Хопфа
для отображений и периодических орбит. Она позволяет описать динамику,
которую можно ожидать в этой проблеме, на инвариантных замкнутых кривых.
Эту теорию можно также применить к уравнению Ван дер Поля со слабым
возбуждением из раздела 2.1.
Напомним вывод из раздела 3.5 о том, что нормальная форма двумерного
отображения, испытывающего бифуркацию Хопфа, дается с точностью до членов
третьего порядка следующей формулой:
(г, в) -> (r(l + d(p - Цо) + аг2), в + с + Ьг2),
(6.2.28)
6.3. Бифуркации одномерных отображений
379
где а,Ь, с и d - некоторые постоянные, ад- бифуркационный параметр. Для
данного усеченного отображения мы получаем замкнутую инвариантную кривую
вида
существующую для значений р слева или справа от ро в зависимости от
знаков а и d. На кривой (6.2.29) формула (6.2.28) описывает жесткое
вращение (инвариантной) окружности
Мы заключаем, что в главной части для ненулевых b,dua число вращения
линейно зависит от р.
Однако, поскольку в (6.2.28) были опущены члены старших порядков, жесткое
вращение (6.2.30) является лишь главной частью однопараметрического
семейства диффеоморфизмов на окружности, и из описанной выше теории
следует, что существуют такие возмущения семейства (6.2.28), для которых
число вращения будет постоянным и рациональным на открытых множествах
значений параметра. Это приводит к явлению затягивания. В случае потоков
периодические точки соответствуют периодическим орбитам на торах с
запертой фазой. Для открытого множества значений параметра устойчивые и
неустойчивые периодические орбиты чередуются, а на концах этих
параметрических интервалов имеют место бифуркации седло-узел. Длина этих
интервалов быстро убывает с ростом периода орбит. Напротив, работа Herman
показывает, что значения параметра, разделяющие такие интервалы
структурной устойчивости и порождающие иррациональные потоки, образуют
множество положительной меры. Таким образом, теория Арнольда и Herman
предоставляет удовлетворительное объяснение эфемерной природы затягивания
долгопериодических орбит и изобилию орбит, кажущихся чисто
квазипериодическими.
6.3. Бифуркации одномерных отображений
Мы уже обсуждали одномерные отображения в разделе 5.6 в связи с проблемой
существования странных аттракторов. Теперь мы приведем некоторые
подробности теории перемешивания для отображений с одной критической
точкой и ее следствий в теории бифуркаций. Как и в других разделах данной
главы, мы попытаемся представить сущность используемых идей, избегая по
большей части подробностей. Гораздо более полный обзор обсуждаемой здесь
теории может быть найден в монографии Collet, Eckmann [1980] и цитируемой
в ней литературе.
(6.2.29)
в -> в + а(р),
а(р) = с+ -(р о -р).
(6.2.30)
380
Глава 6
На протяжении данного раздела мы будем считать, что f: I -> / - некоторое
отображение единичного интервала в себя, имеющее отрицательный шварциан
(производную Шварца), т. е. / трижды дифференцируемо и
для всех тех ж, где/'(ж) ф 0. Это техническое предположение мотивировано
следующей теоремой Singer [1978] (см. Misiurewicz [1981], Collet, Eckmann
Теорема 6.3.1. Пусть f:I -> I - отображение класса С3 с отрицательным
шварцианом. Если у - некоторая устойчивая периодическая орбита, то
существует критическая точка / (т. е. точка, в которой f = = 0) или
граничная точка I, траектория которой стремится к у.
УПРАЖНЕНИЕ 6.3.1. Докажите теорему 6.3.1. (Подсказка: сначала покажите,
что если S(f) < 0, S(g) < 0, то и S(f од) <0, так что свойство NS
удовлетворяется для степеней /" отображения /. Воспользуйтесь этим фактом
для доказательства отсутствия положительных минимумов у \(fn)'\, откуда
следует, что произвольная окрестность любой устойчивой периодической
точки необходимо содержит некоторый прообраз1 критической точки или
граничной точки /.)
Далее будем считать, что /(0) = /(1) = 0 и что / имеет единственную
критическую точку с внутри I. Если 0 является устойчивой неподвижной
точкой, то допустим, что /"(с) -> 0 при п -> оо. При этих предположениях
отображение / имеет не более одной устойчивой периодической орбиты. В
разделе 5.6 мы обсудили типы асимптотического поведения, которое может
иметь большинство точек в случае, когда / не имеет устойчивых
