Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей - Гукенхеймер Дж.
ISBN 5-93972-200-8
Скачать (прямая ссылка):
Наконец, заметим, что если ж(0) = 0, то х = 0, откуда x(t) = 0, и мы
видим, что Ws{0, 0) = Е8. Заметим, что в данном примере мы нашли
глобальные многообразия, см. рис. 1.3.2.
W5
Рис. 1.3.2. Устойчивое и неустойчивое многообразия для уравнения (1.3.8):
(а) линейная система; (Ь) нелинейная система.
УПРАЖНЕНИЕ 1.3.2. Найдите и классифицируйте неподвижные точки следующих
систем при помощи линеаризации вблизи неподвижных точек (т. е. найдите
собственные значения и собственные векторы и изобразите локальные
потоки). Вначале перепишите уравнения второго порядка в виде систем
уравнений первого порядка:
(a) х + si - х + х3 = 0;
(b) х + sin х = 0;
(c) х + ex2 + sin х = 0;
(d) х - -х + х2, у - х + у;
(e) х + е{х2 - 1)х + х - 0
36
Глава 1
(при наличии параметра е рассмотрите случаи е < 0, е = 0 и е > 0).
Сможете ли вы вычислить (или угадать) глобальную структуру устойчивых и
неустойчивых многообразий в каждом из этих случаев? (Этот последний
вопрос очень сложен, если вы не знакомы с приемами, описанными ниже в
этой главе.)
Как хорошо известно, нелинейные системы обладают предельными множествами,
отличными от неподвижных точек; например, часто встречаются замкнутые,
или периодические, орбиты. Для периодической орбиты существует Т, 0 < Т <
оо, такое, что х(Т) = x(t + Т) для всех t. Мы рассмотрим устойчивость
таких орбит в разделе 1.5, а здесь заметим, что они так же, как и
неподвижные точки имеют устойчивые и неустойчивые многообразия.
Обозначим через у замкнутую орбиту, через U - некоторую ее окрестность,
тогда определим
W{oc(y) = {х ? U |фь(х) - ^у| -> 0 при t -> оо и ффх) ? U при t > 0},
Wioc(7) = {х ? U \ 14>t(x) - ^у| -> 0 при t -> -оо и cj>t(x) ? U при t <
0}.
Примеры приведены в следующем разделе.
1.4. Линейные и нелинейные отображения
Мы увидели, как линейная система (1.1.1) порождает отображение потока
etA: М" -" К", когда etA - матрица п х п. Для фиксированного t = т
положим етА = В, тогда матрица В постоянна и разностное уравнение
представляет собой дискретную динамическую систему, полученную из потока
(1.1.1). Точно так же нелинейная система и ее поток <f>t порождают
нелинейное отображение
где G = фт - нелинейная векторнозначная функция. Если поток фт гладкий
(скажем, г раз непрерывно дифференцируемый), то G - гладкое отображение,
имеющее гладкое обратное, т. е. диффеоморфизм. Это один из примеров того,
как непрерывный поток порождает дискретное отображение; более важный
пример, отображение Пуанкаре, будет рассмотрен в разделе 1.5.
Диффеоморфизмы или дискретные динамические системы можно также изучать
сами по себе, и мы можем также рассматривать с большей общностью
необратимые отображения, такие как
Хп+1 = Вхп ИЛИ X НА' Вх
(1.4.1)
= G{xn) или х на G(x),
(1.4.2)
X НА х - X2.
(1.4.3)
1.4. Линейные и нелинейные отображения
37
УПРАЖНЕНИЕ 1.4.1. Покажите, что отображение (х, у) н-> (у, Ъх + dy - у3)
является диффеоморфизмом для b ф 0, и вычислите обратное отображение.
(Это отображение было предложено как аппроксимация отображения Пуанкаре
для уравнения Дуффинга, см. ниже раздел 2.2 и Holmes [1979а].)
Орбита линейного отображения х Вх представляет собой последовательность
точек {xi}°^_00, определенную формулой Xi+i = Вх{. Любая начальная точка
порождает единственную орбиту при условии, что В не имеет нулевых
собственных значений.
Мы определим устойчивое, неустойчивое и центральное подпространства по
аналогии с линейными векторными полями:
Е8 = span{ns собственных (присоединенных) векторов с собственными
значениями, по модулю меньшими единицы},
Еи = span{n" собственных (присоединенных) векторов с собственными
значениями, по модулю большими единицы},
Ес = span{nc собственных (присоединенных) векторов с собственными
значениями, по модулю равными единице}.
Орбиты на Еа и Еи характеризуются соответственно сжатием и расширением. В
отсутствие кратных собственных значений сжатие и растяжение ограничены
геометрическими прогрессиями: существуют постоянные с > 0, a < 1 такие,
что для п ^ О
\хп\ < сап\х0\, если х0 е Es7 \х-п\ ^ сап\хо\, если xq ? Еи.
Если имеются кратные собственные значения, тогда, как и в случае потоков,
сжатие (или растяжение) не обязательно будет экспоненциальным, что
иллюстрируется следующим упражнением. Тем не менее, экспоненциальная
оценка по-прежнему может быть построена, если | Ay < 1 для всех
собственных значений.
УПРАЖНЕНИЕ 1.4.2. Вычислите орбиты для отображений
'1/2 1 ' '1 0'
X 1-> 0 i/2 X И X н-> 1 1 X
и изобразите их схематически на плоскости. Покажите, что точка (0, 0)
асимптотически устойчива в первом случае и неустойчива во втором случае,
хотя А = 1 (ср. с упражнением 1.2.1).
Несмотря на проблемы, обусловленные кратностью, при отсутствии у матрицы
В собственных значений, по модулю равных единице, знание собственных
значений достаточно для вывода об устойчивости. В этом случае (0, 0)
называют гиперболической неподвижной точкой. Вообще, если х - неподвижная
