Термодинамика необратимых процессов - Гроот С.Р.
Скачать (прямая ссылка):
Ji = 2 Lih xk = 2 Lfh xk + [L° Xe]i (45) k k
или тот же поток в векторном выражении
JU = LSXU + [L"XJ. (46)
Симметричный тензор Л обычно называется "тензором теплопроводности", а
осевой вектор La - вектором
68
ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ И ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТЬ [ГЛ. IV
Риги-Ледюка. Последний аналогичен вектору Холла в электропроводности.
Соотношение Онзагера (40) или его другие формы (42) и (43) являются
интересным обобщением выражения (39), но они не получили
экспериментального подтверждения.
§ 20*. Электропроводность
Для электропроводности в кристаллах тензор проводимости oik определяется
соотношением между компонентами напряженности электрического поля и
компонентами силы электрического тока I. Напряженность электрического
поля Е = - gradcp, где <р - электрический потенциал:
I = gE или Ii = TigihEh. (47)
к
Это можно также написать в виде
Е = г1 или (48)
k
где г -матрица удельного сопротивления, которая соответствует матрице g.
Выясним, приводят ли соотношения Онзагера к равенству тензоров
проводимости и сопротивления, т. е. к следующим равенствам:
Sih = Ski' (49)
rih = rhi. (50)
Казимир исследовал этот вопрос методом, отличным от того, который одисан
в § 4. Он рассмотрел электрическую цепь, состоящую из четырех проводников
(рис. 1).
Предположим, что ток Jx входит с одной стороны и выходит с
противоположной и также Jy входит и выходит с разных сторон. Если к этой
цепи присоединить два конденсатора большой емкости, как это показано на
рис. 1, то можно написать:
JX = C<?X и Jy = C<py. (51)
Здесь <рх и ср); - разность потенциалов на зажимах цейи в направлении х и
у. Это значит, что скорость возникно-
ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТЬ
69
вения энтропии пропорциональна сумме
<Р х?х + <?у<?у' (52)
и следовательно, можно рассматривать <рх (или Jx) и <sx как сопряженные
параметры, точно так же, как cpv (или
Рис. 1. Электрическая четырехпроводниковая цепь.
Jy) 11 9у Тогда линейные феноменологические соотношения можно написать в
виде
Л ^'зсх'Рж ^ху?У' (53)
Jy '^'уж'Рж ~t" (54)
Для случая, когда отсутствует внешнее магнитное поле, эти соотношения
примут вид
К y = Lyx. (55)
Для последующего удобнее выражать разность потенциалов как функцию токов:
?х - KJх -• К/у> (56)
?у = RyJx + RyuJ у' (57)
где матрица сопротивления Rik является взаимной матрице Lih, и
соотношение Онзагера принимает вид
(58)
70 ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ И ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТЬ |ГЛ. IV
Это соотношение еще не дает требуемой симметрии тензора (49) или (50),
но мы к ней подойдем путем приложения (58) ко всем возможным
случаям рассматриваемого
явления. Для этого, прежде всего, найдем связь между выражениями (56) и
(57), с одной стороны, и выражением (48), с другой:
хт хт
^ Edx =^ (rxxIx + rxyIv)y=Vl dx, (59)
о и
хт
Jv=\Ivdx' (60)
о
где хт и уп - длина и ширина рассматриваемого четырехугольника, сечение
проводников которого одинаково. Из выражений (59) и (60) имеем:
хт
<?х = rxyJy = Гхх 5 (1х)у=Ы dx¦ (61)
0
В частном случае, когда Jx = 0, уравнения (56) и (61) дают:
хт
яху = rxy + rxxJy' [ (Ix)y=Vl dx. (62)
о J*=°
Напишем выражения для сру и Ryx в таком же виде, как выражения (61) и
(62), и применим соотношения Онзагера, тогда получим:
хт хт
rxy + rxxjvl \ (IX)y=Vl dx = rVx + rmJxl \ (ly)x=xkdy- (63)
•J J*=° Jy=°
Можно применить это уравнение для различных конфигураций цепи, так как xh
и yt (точки присоединения к цепи) произвольны. Выберем такую цепь, для
которой
xk = kxv где к = 1, 2(64) Vi=lyv гДе 1 = 1, 2..........п. (65)
§ 20]
ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТЬ
71
Тогда сумма всех тп уравнений, аналогичных (63), будет:
ft, I о
mnrxy-\ rxxJvL 2 ^ (7*)v^vj-
Vn
/"'2 \([v)*=*bdy. (66)
I A ^11-0
mnr^rm~
ft, i o
При суммировании по l левой части уравнения нужно учесть, что
распределение тока не зависит от I, так как мы допустили, что Jx = 0 и J
входит и выходит в точках с координатой xh, независимой от I. Переходя к
пределу, получим:
п уп
2 \ Jxdy = Jx- (67)
к= 1 О
Но это равно нулю, ибо Jх - 0. Точно так же исчезает
второй член правой части, и выражение (66) дает требуе-
мый результат:
(68)
В проведенных рассуждениях было принято, что тензор удельного
сопротивления rik - один и тот же для всех проводников и что он равен
нулю для вакуума. Это послужило причиной того, что соотношение (50)
следует непосредственно из формулы
i i
а не из первого соотношения, и выражение (50) оказалось аналогичным
выражению (35) § 18.
В заключение отметим, что метод, аналогичный тому, который применен в
этом параграфе, может быть использован для подсчета теплопроводности. При
этом можно взять выражение (36) вместо (35), так как было принято, что
Lik = 0. И, наоборот, метод, примененный в § 18, может быть использован
для электрической цепи, но здесь прибавляются новые трудности, так как
дивергенция тока равна скорости изменения силы сопротивления, а
72
ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ И ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТЬ [ГЛ. IV
сам ток зависит от электрического поля, которое является вообще сложной
функцией этой силы. Метод Казимира обходит эти трудности, и поэтому им
