Термодинамика необратимых процессов - Гроот С.Р.
Скачать (прямая ссылка):
таких условиях феноменологический закон (1.1) представляет собой линейное
соотношение
(19)
I
а соотношения Онзагера (I. 2) имеют вид
Кп = ки. (20)
Переходя к бесконечно малым частичкам кристалла, получим вместо (19) и
(20) следующие выражения:
ДГ(г)= -^^K(v,v')AT(r')dr' (21)
И
К (г, г') = К(г', г), (22)
где г и г' не являются векторами, а означают сокращенное обозначение xv
х2, ха, х[, х'2, х'3, a dr' = dx[, dx't, dx'a.
В заключение выясним влияние неопределенности числа соотношений Онзагера
(22) на коэффициент теплопроводности L}fl обычного закона Фурье для
анизотропных кри-
(54 ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ И ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТЬ [ГЛ. IV
сталлов:
JU = LXU или (23)
х" = - grad Т или Хк=-~. (24)
Для того чтобы связать (21) и (23), напишем уравнение первого закона
термодинамики
AU = CAT = -div Ju.
Подставляя выражения (23) и (24) и заменяя grad Т его значением из
соотношения
grad АТ = grad (Т - Т0)~ grad Т, (25)
получим:
CAT (г) = div {L (г)-grad АТ}, (26)
где тензор L есть функция г. Это уравнение можно легко привести к виду
(21), используя трехмерную 8-функцию Хевисайда - Дирака
8 (г - г') = 8 (жх - х[) 8 (хг - ж') 8 (х3 - х'3). (27)
Тогда выражение (26) может быть написано в виде CAT (г) = ^ ^ 8 (г - г')
div' {L (г') grad' АТ (г')} (28)
или, подставляя значение векторов, получим:
СДГ(,)=Щ8(,-,') j щУ
X, |А = 1
X {^(г')^ДГ (*')}*'. (29)
В этом интеграле АТ (г') дифференцировано дважды. Частное интегрирование
выражения в скобках дает:
СД7-(,)=_5^2{5Г;8('-0}х
х{^(г')д|г^(г')}*', (30)
§ 181
ТРЕХМЕРНЫЙ ТЕПЛОВОЙ ПОТОК
65
при этом интегрируемая часть исчезает, а ДТ (г') должно быть
дифференцировано только один раз. Второе частное интегрирование &Т(т')
приводит к следующему результату:
где Д71 (г') больше не дифференцируется. Это уравнение имеет требуемую
форму (21), а соотношения Онзагера принимают вид
потому что 8-функция является явной функцией его аргумента. Решение можно
получить прямо из выражения (32), используя свойство 8-функции (см.
примечание в конце параграфа). Однако, можно получить решение несколько
проще, без использования 8-функции. Для этого умножим (32) на
произвольную функцию / (г') и проинтегрируем по dr'. Если подставить
вместо первого члена (32) его значение из (31), (30) и (29), а потом
значение 8-функции, которое использовалось, в (28), подставить с обратным
знаком в оба члена (32), то получим:
Так как вторые производные /(г) сокращаются, то из этого выражения
получаем:
Учитывая, что / произвольно, из выражения (34) можно сделать следующий
вывод:
С Д71 (г) =
2ц;КW<4Mr-г')}, (32)
А дхи дх. ZJ дх,, дх.
" Н" Л, . {А К
V д/ dLХц _ VI df
(34)
s* dL~KV- - v дЬ*х
СЛ дх. дх.
X Л X к
(35)
0 С. Р. де Tpooj
66
ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ И ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТЬ [ГЛ. IV
Как было указано в начале параграфа, соотношения Онзагера приводят к этой
формуле, а не прямо к симметричности матрицы Lx^. Формула (35)
показывает, что несимметричная часть матрицы L-lv, не увеличивает
дивергенции теплового потока и поэтому может не учитываться. Это также
означает, что можно эту несимметричность принять равной нулю и просто
писать:
L\V. = LV.\, (36)
Это соотношение можно также получить из уравнения (35), если сделать
обычно принимаемое допущение, что в вакууме = 0, а также то, что этот
коэффициент не зависит от состояния вещества.
Теперь возьмем плоскую поверхность кристалла и расположим координатные
оси в этой плоскости. Тогда, очевидно, выражение (35) превратится в
о
dz -~и'
и для исследуемого случая получим:
I^\\l = = 0.
Таким образом, мы опять приходим к экспериментально подтверждающемуся
соотношению (36). Однако, уравнение Онзагера (35) еще не совсем
достаточно для вывода соотношения (36).
Примечание. Соотношение (35) может быть также выведено из (32)
применением 8-функции. Для того, чтобы установить зависимость L^ от г' в
первом члене формулы (32), прибавляем какое-либо значение некоторой
функции g(y)
8 (У) |8 (У) = § (0) ^ 8 (У) -1 (°)8 (У)• (3?)
Тогда формула (32) примет вид
2Ш [.w (г)?г 'ь(г-о- {?- W(г)}"¦(г.- о] -
X, ц
=2е-К(г)4:8<г-г')}' <38>
§19]. ТЕПЛОЙРОВОДНОСТЬ ВО ВНЕШНЕМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ 67
Так как вторые производные сокращаются, то получаем:
Это выражение непосредственно приводит к соотношению (35).
§ 19*. Теплопроводность во внешнем магнитном поле
Когда действует внешнее магнитное поле, соотношение (36) изменяется, и
вместо него появляется (1.7) или (11.24):
?tk(B) = ?fci(-B). (40)
Обычно принято разбивать тензор Lih на симметричную и несимметричную
части L\h и L
^ik - ~2 ~t" IJki\ "Ь Y Lhi] = Lik-\-Lih- (41)
Тогда оказывается, что L\h есть четная функция поля В, а - нечетная
функция поля В:
Lth (В) = Lfft ( - В), (42)
L"ft (В) = - L"ft ( - В). (43)
Соотношения (42) и (43) легко выводятся из (41), если подставить значения
L\h и Lalh. Несимметричный тензор может быть представлен как осевой
вектор с компонентами
Li = ~Liz = L% и т- Д- (44)
Тогда выражение теплового потока представится в виде
