Термодинамика необратимых процессов - Гроот С.Р.
Скачать (прямая ссылка):
- существенно положительные величины.
§ 17. Одномерный тепловой поток
В качестве введения к следующим главам здесь еще раз повторяются
рассуждения, приведенные в предыдущих параграфах, но касающиеся простой
однородной системы. Пусть этой системой будет твердое тело, и
00
ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ И ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТЬ [ГЛ. IV
градиент температуры имеет одинаковое значение во всех точках.
Продположим, что структура твердого тела такова, что тепловой поток имеет
направление температурного градиента, и с математической точки зрения
задача сводится к одномерной. Пренебрегая расширением твердого тела,
напишем выражения первого и второго законов термодинамики
Здесь и и s - соответственно, удельная энергия и энтропия, р -плотность,
a Ju -тепловой поток.
Так как здесь нет переноса массы, то тепловой поток и поток энергии
представляют собой одно и то же (ср. VII (13), (15) и (32)). Для
одномерной задачи дивергенция и дифференцирование по координате х - одно
и то же. Сопоставляя уравнения (7) и (8), получим следующее выражение для
энтропии:
Это выражение имеет форму балансового уравнения. Оно подчеркивает тот
факт, что изменение количества, т. е. энтропии, обусловлено отрицательной
дивергенцией потока энтропии
(7)
гр иа _____________ ии
dt dt
ds du
(8)
= div ~~ Ju = div Js -)- g (s). (9)
J,
(10)
T
а для возникновения энтропии имеем:
(И)
Это выражение аналогично выражению (4) предыдущего параграфа, но для
конечной разности температур, так же, как выражение (9), соответствует
выражению (3).
§ *8J
ТРЕХМЕРНЫЙ ТЕПЛОВОЙ ПОТОК
61
Имея для силы выражение Хи= - сать возникновение энтропии в виде
, можно напи-
0 = JUXU = LXu > 0.
(12)
Если написать линейный феноменологический закон
то получим закон Фурье, который обычно пишут в форме
Здесь подставлено значение коэффициента теплопроводности \ = ~ , который
в соответствии с (12) есть всегда
положительная величина; так как теплота переходит от высокой температуры
к низкой, то а здесь положительно.
Особый интерес представляет стационарное состояние, когда энтропия
остается постоянной. Ясно, что для такого случая первый член выражения
(9) превращается в нуль. Одинаковое количество тепла поступает в систему
с "горячей стороны" и уходит с "холодной стороны". Так как подача и
отнятие тепла имеют место при разных температурах, то в соответствии с
выражением (10) больше энтропии уходит, чем приходит. Недостаток энтропии
компенсируется возникновением энтропии (И) внутри системы, как это и
должно быть.
Для теплового потока Ju с компонентами Jv /2, /3, возникающего благодаря
температурному градиенту Xu= - grad Т с проекциями Xlt Х2, Х3, в общем
случае анизотропного тела нужно написать:
Казимир обратил внимание на то, что в случае трех мерного теплового
потока проекции J\ не являются произ. водными по времени переменных
параметров ак (I. 4). Следовательно, уравнения (15) не идентичны
уравнениям
т ____ г y _____ _ г grad Т
(13)
(14)
§ 18*. Трехмерный тепловой поток
(15)
62
ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ И ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТЬ [ГЛ. IV
(I. 1) или (II. 18), как это необходимо для получения соотношений
Онзагера, т. е. для того, чтобы заключить
о симметричности матриц Lk[l. Больше того, Ju нельзя определить до
тех пор, пока дивергенция теплового потока не будет выражена
макроскопически. Поэтому подставим в выражение Ju произвольный член,
после чего дивергенция исчезнет. Действительно, значение дивергенции Ju
не изменяется, если к прибавить величину = = - М^х, характеризующуюся
тем, что сумма ее частных производных равна нулю, т. е.
Здесь xv хг, хй - декартовы координаты. Это показывает также, что вообще
LliX не равно L^x. Поэтому нельзя считать, что достаточно одной
достоверной теории, чтобы без каких-либо добавочных данных получить
Вопрос заключается в том, какие ограничения для коэффициентов L-Kv
следуют из соотношений Онзагера для рассматриваемого случая.
Для того чтобы здесь были справедливы соотношения Онзагера, нужно найти
действительно сопряженные потоки и силы. При этом следует исходить из
соображений, относящихся к возникновению энтропии.
Предположим, что кристалл в состоянии термостатического равновесия имеет
температуру Т0. Если разделить этот кристалл на несколько частей, имеющих
объемы V. и температуры = У0 -f- &Т,, то для изменения энтропии от ее
значения при равновесии, пренебрегая изменением объема, можно написать:
где С -удельная теплоемкость единицы объема. Суммирование
распространяется на все части кристалла. Вы-
иося -=- и учитывая, что в малых интервалах темпера-
(16)
§ 181 трехмерный тепловой поток . 63
тур С почти постоянно, из (16) получаем:
Tj т,
sу i\dT - щ sv Л ^ - ?'о)rf?i=
1 То 0 ) То
-0-Щ 2 М4*1,•>¦+... от
;
Следовательно, формула для возникновения энтропии может быть написана в
виде
(18)
)
В качестве сопряженных потоков и сил можно выбрать
дг, " -(-?) V*V Тогда поток есть производная по
времени от переменных параметров состояния, как это и должно быть. При
