Теория суперструн. Том 1 - Грин М.
Скачать (прямая ссылка):
может быть использован для создания физических состояний. Однако такое
положение можно исправить добавлением еще одного слагаемого. Оказывается,
что это слагаемое содержит специальную комбинацию осцилляторов, которая
на первый взгляд может показаться плохо определенной, но в
действительности это не так. Частью произведения k-X, содержащей нулевую
моду для допустимых кинематических конфигураций, является k'P = nko-p =
n. Поэтому для случая пф О (который нам только и нужен) log(k-X) =
= log (п -f У* k • аЛ = log п + - V* k • а. + ... имеет хо-V о J
п ^
рошо определенное разложение в ряд общего вида:
log п + осцилляторные члены. (2.3.87)
2.3. Квантование в калибровке светового конуса
133
-Формула, позволяющая устранить в (2.3.86) последний член, имеет вид
[bm, I-JL log (k ¦ X)] = [-1-- + m) 14? loS (*•*)" "2e'mT-
(2.3.88)
Поэтому комбинация
V* (k, x) = : X"eik'x : + i- № (loiT"Z) e'*'* (2.3.89)
имеет конформную размерность /=1. Так как единственной отличной от нуля
компонентой вектора № является kr = -п, то формула (2.3.89) сводится к
(2.3.36) при |i, = i. При ц = - из нее следует, что
V~(nkо, т)= : X~einX+ : - \in(log Х+) etnX+, (2.3.90)
и, следовательно, оператор
2л
Ап=-^\ dxV~(nk0, х) (2.3.91)
о
может быть использован для построения физических состояний. Заметим, что
Ао = р~.
Эти операторы вместе с операторами А1п образуют набор из D- 1 операторов
для каждого значения п и фактически составляют полную алгебру,
порождающую спектр. Алгебра этих операторов имеет следующий вид:
[Alm, Л^]=т6</6т+", (2.3.92)
[Лй, А{\ = -пАт+п, (2.3.93)
[ Am, Ап] = (т - п) Ат+п + 2т36т+п- (2.3.94)
Вместе с операторами Вирасоро Lm операторы, порождающие спектр, Ат и Ат,
генерируют все состояния фокова пространства струны. Соответствие между
операторами Ат и ат можно усмотреть в определенных выше формулах, из
которых очевидным образом следует, что
А~п - а-п + ..., А-п = k ¦ а_п + ..., = р • а_" + ...,
(2.3.95)
где означает члены, содержащие более чем одну осцил-
ляторную моду. Это дает все основания предполагать, что на каждом
массовом уровне имеется обратимое преобразование состояний, полученных с
помощью операторов, порождающих
134
2. Свободные бозонные струны
спектр, и операторов Вирасоро, в состояния, полученные с помощью
операторов с#,.
Теперь можно рассмотреть пространство физических состояний,
представленных в явном виде, с тем чтобы проиллюстрировать факт
отсутствия состояний с отрицательной нормой. В самом деле, действуя на
физические состояния с положительной, нормой, операторы Ап порождают
состояния с положительной нормой. Оператор Ап требует особого
рассмотрения. Вместо оператора Ап можно столь же успешно работать с
оператором
оо 0-2
Ап = Ап - 4- ? A'mALm (2.3.96)
m-\ i = l
так как он имеет то преимущество, что коммутирует с операторами Ат- Таким
образом, наше утверждение о том, что операторы Ап и Ak порождают
физический спектр, означает, что произвольное физическое состояние | -ф)
может быть записано в виде
| г|з) = А[\А\ . .. АнгАпхАп2 . . . Апр| 0). (2.3.97)
Чтобы расположить операторы, генерирующие спектр, в удобном порядке,
приведенном в формуле (2.3.97), можно воспользоваться коммутационными
соотношениями между операторами Ап и Ап.
Операторы Ай удовлетворяют алгебре Вирасоро, которую можно извлечь из
алгебры операторов а~ (2.3.14) вместе с (2.3.93) и (2.3.94):
[Ат, Ап] = {т - п) А~+п + -j^-m36m+n. (2.3.98)
Если нам удастся показать, что состояния вида
1х) = А- ... |0) (2.3.99)
всегда имеют неотрицательную норму, то последующее действие на них
операторов А*п, как это имеет место в формуле (2.3.97), всегда будет
приводить к состояниям с неотрицательной нормой, что вновь будет
доказательством теоремы об отсутствии духов. Так как
Лй | 0> = 0, п> 0, (2.3.100)
можно (после перемещения всех операторов Ап с га^О вправо) предположить,
что в (2.3,99) т < 0. Для вычислений нормы*
2.3. Квантование в калибровке светового конуса
135
состояния |х> запишем
<х1х>=(0Й:п, ... AZnfc ... Г0>. (2.3.101)
Используя (2.3.98) для перемещения операторов А 1п. вправо, где они в
конце концов аннулируют состояние |0>, мы видим, что при Z) = 26 все
состояния в (2.3.101) имеют нулевую норму (за исключением только случая,
когда k = 0\ тогда |x>=|Q> и его норма равна 1). Это наблюдение лежит в
основе доказательства Брауэра теоремы об отсутствии духов при D - 26. При
D-ф26 норму (2.3.101) по-прежнему можно вычислить, используя (2.3.98) и
(2.3.100). Получается, что все состояния вида <х| имеют положительную
норму при D < 26, а при D > 26 норма некоторых из них отрицательна.
2.3.4. Анализ спектра
При а = 1 и D = 26 основное состояние открытой бозонной струны |0; р}
является тахионом с а'М2 = - 1, а первое возбужденное состояние a^jlO;
р)- безмассовой векторной частицей с 24 независимыми поперечными
поляризациями. Чтобы лучше понять, что значит иметь дело со струной,
полезно рассмотреть также происходящее на некоторых более высоких
