Теория суперструн. Том 1 - Грин М.
Скачать (прямая ссылка):
L2\s) = L2\k) = 0. (2.3.77)
Вывод равенств (2.3.76) можно непосредственно обобщить с тем, чтобы
вывести равенства (2.3.77), и мы оставляем читателю сделать это в
качестве упражнения. Отметим однако, что в процессе вывода ему встретится
коммутатор [Ь2, Ь-2], зависящий от D из-за аномалии Вирасоро. Это
единственное место во всем выводе, в котором возникнет зависимость от D.
Читатель должен суметь доказать равенства (2.3.77) при D - 26.
Теперь уже можно доказать теорему об отсутствии духов. В разложении
(2.3.65) физического состояния |ф> общего вида нам известно, что
состояние |s> является и физическим, и шпу-рионным. Мы знаем из нашего
предыдущего рассмотрения шпу-рионных состояний, что состояние, являющееся
и физическим, и шпурионным, имеет нулевую норму и ортгонально ко всем
физическим состояниям, так что <s|.s>=<?|.s>=0. Следовательно,
<Ф|Ф> = <*|*>, (2.3.78)
но можно легко показать, что состояние \k> имеет неотрицательную норму.
Возвращаясь к (2.3.64), мы видим, что состояние общего вида в
пространстве К может быть записано
!*> = lf>+IIT*Vlfa>, (2.3.79)
a
где |fa> является состоянием ДДФ, а штрих в П' означает, что не все числа
цл>а равны нулю. Запишем (2.3.79) в сокращенном виде:
|*) = |/) + |й). (2.3.80)
Из элементарных свойств операторов К и состояний ДДФ еле-' дует, что (k
\k) - (f |fe) = 0. Поэтому (k\ky = <f |f> 0 (где
\f} = 0 тогда и только тогда, когда |f> - 0). С учетом (2.3.78) это
завершает доказательство того, что физическое состояние | ф>
2.3. Квантование в калибровке светового конуса
131
имеет неотрицательную норму. В физическом гильбертовом пространстве духи
отсутствуют.
На самом деле можно доказать и более сильное утверждение. Используя
коммутатор [Lm> Кп] = -пКт+п и тот факт, что операторы Lm при т > 0
аннулируют состояния ДДФ /> и |/а>г нетрудно показать, что если состояние
|&> в (2.3.79) является физическим, то \ k} = 0 и |&> = |/>. Таким
образом, мы наконец установили, что физическое состояние общего вида
может быть записано в виде
1ф) = 1/) + |5), (2.3.81)
где |/> - состояние ДДФ, a |s> - шпурионное физическое состояние. Это
утверждение является сильным вариантом теоремы об отсутствии духов. На
первый взгляд появление здесь шпури-онного физического состояния |s>
может показаться неприятным, но на самом деле оно тесно связано с той
причиной, по которой теория струн действительно является интересной.
Преобразование |/)-^|/)+ |s> является теоретикострунным аналогом
калибровочного преобразования.
Теорема об отсутствии духов легко обобщается на случай D < 26, так как
тогда физическое пространство является просто подпространством 26-мерного
пространства, в котором выполняется равенство
<1ф> = 0, i = D, ...,25 (2.3.82)
при т > 0. Однако только в 26-мерном пространстве имеется! достаточное
число нуль-состояний для состояний ДДФ (т. е. физических состояний |/>),
чтобы образовать полный базис физических состояний. При D < 26 можно
отказаться от условия на массу основного состояния, считая (формально),
что ko отличен от нуля, когда i = D, ..., 25. (Так как в этих
размерностях возбуждения отсутствуют, это не испортит хороших свойств
ko.) В результате масса основного состояния будет сдвинута, так что
25
а=1- ?(Л')2<1. (2.3.83)
В низших размерностях физические состояния не являются чисто поперечными.
Фактически мы можем явно построить операторы, которые создают эти
физические "продольные" состояния из поперечных, и увидеть, что они
приводят к состояниям с нулевой нормой при D = 26. Это конкретное
представление для всех D- 1 физических мод было развито Брауэром в его
доказательстве
132
2. Свободные бозонные струны
теоремы об отсутствии духов. Мы опишем этот подход только вкратце, без
той степени подробности, которой мы придерживались выше.
Естественно обобщить операторы ДДФ так, чтобы они имели не D - 2, a D
компонент, рассматривая (2.3.36), где поперечный индекс заменен на "+"
или "-". Компонента "+" оказывается тривиальной, так как
2Я
S *+etnX+ dx = б" (2.3.84)
о
в той специальной кинематической конфигурации, которую мы выбрали для
рассмотрения. Компонента "-" является интегралом от V~(nkо, т), где
V~(nk0, х)=:Х~е^х+: (2.3.85)
не имеет конформной размерности I = 1 из-за нормального упорядочения.
Вместо этого из вычислений следует, что
[Lm, V~ [tikо, т)] = eimx{^-i - -f m) V~ (nk0, x) -f у nm2elmxeinX+.
(2.3.86)
Второе слагаемое в этом выражении имеет то же происхождение, что и
аномальная размерность fe2/2 вершинного оператора : ехр (ik-X)
Действительно, коммутирование нормально упорядоченного выражения с Lm
приводит к выражению, в отдельных членах которого повышающие операторы
стоят правее соответствующих понижающих операторов. Коммутирование их с
целью получения нормально упорядоченного выражения приводит к последнему
члену в (2.3.86).
Первое слагаемое в (2.3.86) имеет правильный вид оператора с конформным
сйином /= 1. Наличие второго слагаемого означает, что оператор V~ не
