Теория суперструн. Том 1 - Грин М.
Скачать (прямая ссылка):
Из определения (2.3.46) следует, что каждое состояние в фо-ковом
пространстве бозонной струны может быть выражено как линейная комбинация
состояний вида (2.3.46). Убедиться в этом довольно просто. Любое
состояние в пространстве Фока может быть записано в виде
П П К")Ч Р •, 0). (2-3.56)
р=0 п-1
Хотя полное число состояний в пространстве Фока бесконечно, имеется лишь
конечное число состояний с данным собственным значением оператора
25 оо
w = Z (2.3.57)
р=0 п~1
Состояния в (2.3.56) обязательно линейно независимы и являются N
собственными состояниями с собственным значением
<ЛО=?явп>0. (2.3.58)
п. р
Произвольное состояние (2.3.46) в явном виде выражается формулой
оо 24
П L-n ¦ К-пп • П и^Г'г I о) (2.3.59)
n=i г=1
для некоторых Кп, цп и |Зп>г. Состояния в (2.3.59) вновь являются N
собственными состояниями с собственным значением
Ш) = ? п/Хп +.ц" +-Л г V (2.3.60)
' - " П= 1 ' V ' ' ¦' i ) - > ¦¦¦ -
' '
128
2. Свободные бозонные струны
Из сравнения (2.3.58) с (2.3.60) следует, что число состояний вида
(2.3.56) с данным N в точности совпадает с числом состояний (2.3.46) с
тем же N, так как комбинаторика 26 чисел е та же, что и комбинаторика
одного X, одного ц, и 24 чисел р. Так как состояния (2.3.46) линейно
независимы и их такое же число (на каждом массовом уровне), что и
состояний (2.3.56), они должны образовывать базис гильбертова
пространства.
Мы теперь воспользуемся этим результатом для доказательства теоремы об
отсутствии духов, после того как изложим еще один или два вспомогательных
приема. Пусть S является пространством шпурионных состояний. Согласно
обсуждению, проведенному нами ранее, шпурионное состояние подобно
состоянию Is), которое может быть записано в виде
|S> = ?-llXl)+?-2lX2> (2.3.61)
для некоторых |%i> и |%2>- Ясно, что состояние |s> можно было бы записать
и как
U) = ?_1|x;) + ?_2|X2). (2.3.62)
где
L_2 = L_2 + 4-?2-i. (2.3.63)
Напомним, что это как раз та комбинация, которая возникла при построении
состояний нулевой нормы в (2.2.45). Преимущество использования Г_2 вместо
L_2 станет очевидным позднее. Пусть К - пространство всех состояний вида
П *-""•! ft, (2.3.64)
/2 = 1
где |f> - состояние ДДФ. Каждое состояние типа (2.3.46) либо содержит в
своем разложении некоторое число операторов L и поэтому является
шпурионным, либо не содержит операторов L и поэтому принадлежит
пространству К. Так как состояния (2.3.46) образуют базис в пространстве
Фока, то мы получаем, что любое состояние |ср>> в этом пространстве можно
записать в виде
|q>) = |s> + |fe), (2.3.65)
где |s> является шпурионным состоянием, a \k> принадлежит пространству К.
Более того, это представление является единственным, так как состояния
(2.3.46) линейно независимы. Поэтому если |ф> является собственным
состоянием оператора L0,
2.3. Квантование в калибровке светового конуса
12"
то |s> и | k} также являются его собственными состояниями с тем же
собственным значением; в частности, если
(L0- 1)1ф> -0, (2.3.66)
то
(L0-l)|s> = (L0-l)|A:) = 0. (2.3.67)
Предположим теперь, что j<p> является физическим состоянием и поэтому
удовлетворяет условиям
LJ,p) = 0, т = 1, 2, 3 . .. (2.3.68>
и уравнению (2.3.66). Записывая состояние |ф> в виде (2.3.65),. где
состояния |s> и |А> удовлетворяют уравнению (2.3.66), мы покажем теперь,
что состояния |s> и |А> являются физическими,
Lm\s) = Lm\k) = 0, ш = 1,2,3. (2.3.69)
Равенства (2.3.69) достаточно доказать для т = 1 и т = 2, так. как
операторы Lm при т'>2 могут быть получены повторной коммутацией
операторов L\ и L2. У нас есть еще представление
| s) = L_11 %i) -f- L_2| X2) (2.3.70)
для некоторых |xi-> и \%2>. Из уравнения (2.3.67) следует, что
0 = L0lx>> = (L0 + 1)Ы. (2-3.71)
Для доказательства (2.3.69) при т = 1 заметим, что из (2.3.65) и (2.3.68)
следует равенство
0 = Li | s) + Z-! | k). (2.3.72)
Более подробно можно записать
Lx\s) = L, (L_, I х,) + 2L21 Ха", (2.3.73)
Lx\k) = LxTlK*-nn\f), (2.3.74)
П
где [xi> и [хг) удовлетворяют условиям (2.3.71), a |f> является
состоянием ДДФ. Воспользовавшись коммутационными соотношениями [Li,
L-J = 2L0, [Lb L_2] = 3L_j и условиями (2.3.71),
мы получаем из (2.3.73), что Li|s> является шпурионным со-
стоянием,
L1|s) = L_1|rh)+L_2|r]2) (2.3.75>
для некоторых т],. Из (2.3.74), того факта, что состояния ДДФ-являются
физическими (Li|f>=0), и из равенства [Lm, /С"] = = Кт+п также следует,
что Lx\k} принадлежит пространству К. Таким образом, уравнение (2.3.72)
означает, что сумма шпури-
(30
2. Свободные бозонные струны
онного состояния (Z-i|s>) и состояния в K{Li\ky) равна нулю. А так как
состояния (2.3.46) линейно независимы, это невозможно, если только
L, | s) = L, | 6) = 0, (2.3.76)
что мы и хотели показать.
Для завершения доказательства того, что состояния |s> и | /е> в (2.3.65)
являются физическими, если таковым является состояние |ф>, нужно
повторить рассуждения, которые привели нас к равенствам (2.3.76), и
показать, что при тех же предположениях
