Теория суперструн. Том 1 - Грин М.
Скачать (прямая ссылка):
(2.3.44)
Kn\f) = 0, п> 0.
(2.3.45)
| {X, р), /) = .. . LiziC'i ... к~тт I f). (2.3.46)
Удобно ввести величину
? гК+ ? s\is=p.
(2.3.47)
Д ... L-miK-1 ... (2.3.48)
2.3. Квантование в калибровке светового конуса
125
где ? rKr + ? sps = ? rk'r + ? 5ц' = Р. Эта матрица является функцией
только значений операторов Ко и L0 на состоянии |f> (где Ко = ko-ao Ф 0).
Если мы сможем показать, что детерминант матрицы (2.3.48) отличен от
нуля, то из этого факта будет следовать, что состояния (2.3.46) с данным
значением Р линейно независимы.
При Р = 1 мы находим, что
( Ко Л
о)'
(2.3.49)
а детерминант этой матрицы есть- Ко Ф 0. Общее доказательство того, что
матрица Жр имеет ненулевой детерминант для любого Р, зависит от
возможности найти естественный способ так расположить строки и столбцы,
чтобы матрица имела нули под своей побочной диагональю (диагональю из
верхнего правого угла в нижний левый) и ненулевые элементы вдоль нее.
Тогда детерминант дается (с точностью до знака) произведением этих
элементов. Так как это элементарное наблюдение может показаться странным,
запишем явно матрицу 4 X 4 с нулями под побочной диагональю общего вида:
а, 1 а 12 а13 аи
021 а2 2 а23 0
а31 #32 0 0
а41 0 0 0
(2.3.50)
Ясно, что детерминант этой матрицы является произведением элементов на
побочной диагонали и отличен от нуля, если все они не равны нулю. Таким
образом, мы сможем доказать, что матрица Жр имеет ненулевой детерминант,
если покажем, что подходящим подбором состояний матрицу Жр можно привести
к общему виду (2.3.50). Проиллюстрируем на примере матрицы на уровне 2,
т. е. когда Р - 2, как срабатывает правильный подбор состояний. В этом
случае таким подбором состояний | {А-, |j}, являются состояния,
полученные с помощью опе-
раторов
Lit, L_2, К_2, К2-\. (2.3.51)
Вычисляя скалярное произведение (2.3.48), мы коммутируем операторы L и К,
пронося их друг через друга. Однако в-этом процессе число операторов К
никогда не может быть уменьшено. Чтобы операторы К не аннулировали
сопряженные конечные состояния, должно быть достаточное количество
операто-
126
2. Свободные бозонные струны
ров L для превращения всех операторов К в множители Ко,, так как
матричный элемент ,
<т"Л2 ••• KH\f) (2.3.52)-
(где |f> и |f'> являются состояниями ДДФ) всегда обращается в нуль, кроме
случая, когда |ях = ц2 = ... = \ik = 0. Легко видеть, что систематизация
состояний в соответствии с (2.3.51) приводит к матрице скалярных
произведений общего вида (2.3.50). Обобщение подбора (2.3.51) для более
высоких массовых уровней осуществляется следующим образом. Напомним, что
{|я} или {А} обозначают цепочки операторов К или L соответственно.
Определим сначала отношения порядка между двумя цепочками операторов L:
{Я} > {X'}, если ? гкт> ? П'г,
или ? Г^г ~ 2 ГК и ^1 > К'
или X rKr ~ Yj гХ'г и А, = А[, А2 > А' и т. д. (2.3.53)>
(АЬА2 и т. д. определены в (2.3.48)). Теперь мы хотим сформулировать
правила комбинирования наборов (А, ц} операторов L и К. Подходящим
правилом является следующее:
{А, ц) < {А', ц'}, если {А} < {А'}
или {А} = {А'} и (ц) > {ц'}. (2.3.54)'
Нетрудно видеть, что примеры, которые приводились ранее, являются
специальными случаями этого правила и оно всегда приводит к желаемой
форме матрицы Лр с нулевыми элементами под побочной диагональю и с
величинами Ко вдоль нее..
Это вычисление является чисто алгебраическим, независящим от
представления операторов L_" и К~п. Тот факт, что матрица Ж является
невырожденной, зависит решающим образом от присутствия операторов К~п¦
Матрица, соответствующая состояниям, построенным с помощью только
операторов L~n, имеет детерминант (детерминант Каца), который может быть
сингулярным.
Пусть теперь |f> и |g>-два различных состояния ДДФ, такие, что <f|g'>=0.
Предположим, что |f> и |g> являются собственными состояниями оператора
L0. Пусть |f>=| {А, ц}, /> и |#>=| {А', ц'},#) - состояния, полученные из
lf> и |g> действием на них цепочек операторов L и К. Тогда мы утверждаем,
что
<!\g) = 0. (2.3.55V
2.3. Квантование в калибровке светового конуса
127
Действительно, записывая состояния |f> и Jg> в явном виде (как в
(2.3.48)) и перемещая операторы L~n и К-п влево, a Ln и К" вправо (при
л>0), получим, что левая часть (2.3.55) сведется к кратному скалярного
произведения <f|g>, которое, по нашему предположению, обращается в нуль.
Теперь мы утверждаем, что состояния (2.3.46), где |/> пробегает по всем
состояниям ДДФ, а {Я, ц}-по всем цепочкам операторов L и К, линейно
независимы. Это действительно так: ведь мы доказали, что всевозможные
состояния, полученные из ортогональных состояний |/>, являются
ортогональными друг к другу, и показали, исследуя детерминант матрицы Ж,
что всевозможные состояния, полученные из данного |f>, линейно
независимы.
Тот факт, что состояния (2.3.46) являются линейно независимыми, может
показаться довольно техническим, но на самом деле он лежит в основе
удивительно мощного метода.
