Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Грин М. -> "Теория суперструн. Том 1" -> 50

Теория суперструн. Том 1 - Грин М.

Грин М., Шварц Дж., Виттен Э. Теория суперструн. Том 1 — М.: Мир, 1990. — 518 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyasuperstrunt11990.pdf
Предыдущая << 1 .. 44 45 46 47 48 49 < 50 > 51 52 53 54 55 56 .. 212 >> Следующая

о
Эти операторы и являются операторами ДДФ.
Операторы ДДФ имеют два важных свойства. Они коммутируют с Ln и
подчиняются простой алгебре. Наличие первого свойства доказывается очень
просто. Из определения конформной размерности следует, что если У(т)
имеет размерность J = 1, то
\Lm, V (т)] = i-^-(eim'cV (т)). (2.3.38)
Таким образом, [Lm, Агп] - 0, как нам того и хотелось, при условии, что
кинематическая ситуация ограничена указанным выше способом и
подынтегральное выражение в (2.3.37) является периодическим.
Непосредственно из условия, содержащего L0, вытекает, что [ЛГ, Л^] = -
nAh. Отсюда следует, что произвольное состояние вида
А\А\ ... а1\Ю; а) (2.3.39)
удовлетворяет условиям Вирасоро и для него N п} Чтобы
/
определить алгебру операторов Ah, нам необходимо знать коммутаторы
операторов -X^(t) при неравных т. Используя разложения по модам *)
оо
X1 (т) = Z а1те-шх, (2.3.40)
- оо
находим, что !
[X1 (т,), X1 (т2)] = 2го'6г/6' (т, - т2). (2.3.41)
Теперь, используя (2.3.36) и (2.3.41) и замечая, что оператор Х+
коммутирует с самим собой и с оператором X1 (даже при неравных т) , мы
можем легко вычислить коммутаторы операторов
-1) Напомним, что для любого оператора А выражение Л(т) является
сокращенной записью выражения А(0, т).
2.3. Квантование в калибровке светового конуса
123:
Ah, получая

[Ат, А'п] = jj dxxdx2 [Х' (т,), X1 (т2)] exp (imX+ (т,) +
О

+ inX+ (т2)) = ^-6,7 J dxX+ (т) ехр (г (т + п) Х+ (т)) =
= т6ц6т+п. (2.3.42)!
На последнем этапе было использовано, что р+ = 1. Видно, что эта алгебра
тождественна алгебре поперечных осцилляторов ат. Операторы Ah, так же как
и поперечные осцилляторы, обладают свойством вещественности, Ahf - А~п, и
тем свойством,, что А1п | 0; ро) = 0, п > 0. Эти факты обеспечивают то,
что все физические состояния (2.3.39), полученные действием операторов
ДДФ на основное состояние, являются состояниями с положительной нормой,
точно так же как состояния, полученные в калибровке светового конуса
действием поперечных осцилляторов на состояние тахиона. Мы назовем
состояния (2.3.39), полученные действием операторов А'т, "состояниями
ДДФ". Конечно, нам известно, что при D > 26 в физическом подпространстве
имеются состояния с духами, поэтому для произвольного D должно быть так,
что операторы Ah не генерируют весь спектр физических состояний.
2.3.3. Теорема об отсутствии духов и алгебра, порождающая спектр
Полное пространство состояний, порожденных модами: D-мерного осциллятора,
содержит и нежелательные духовые состояния. Мы уже знакомы с тем, как
строится подпространство' "поперечных" состояний, удовлетворяющих условию
физического состояния и имеющих положительную норму, а именно состояний
ДДФ. Из изоморфизма между алгеброй операторов Alm и алгеброй поперечных
осцилляторов ясно, что размерность этого подпространства соответствует
размерности пространства, в котором действуют. (D - 2)-мерные
осцилляторы. Наша задача теперь - установить природу состояний,
принадлежащих ортогональному дополнению этого подпространства. Мы
фактически покажем, что состояния ДДФ в 26-мерии при а = 1 по-существу
представляют собой всю совокупность физических состояний, доказав тем
самым отсутствие в этом случае физических состояний с отрицательной
нормой. Это было впервые еде-
124
2. Свободные бозонные струны
лано Брауэром, а также Годдаром и Торном; ниже мы приведем упрощенное
доказательство, предложенное недавно Торном. Отсутствие духов при D < 26
и а ^ 1 является простым следствием результата, полученного при D = 26 и
а = 1 (хотя непосредственное построение полного базиса физических
состояний является более затруднительным).
Мы по-прежнему рассмотрим кинематические конфигурации, использованные
нами при обсуждении операторов ДДФ; если среди "допустимых" состояний нет
духов, то лоренц-инвариант-ность ковариантного формализма обеспечивает их
отсутствие в физическом гильбертовом пространстве. Пусть F является
пространством состояний ДДФ. Состояние ДДФ общего вида будет обозначаться
через |/>. Определим операторы
(k0 - светоподобный вектор, который мы ввели при построении состояний
ДДФ). Легко видеть, что эти операторы удовлетворяют коммутационным
соотношениям
Если |/) является состоянием ДДФ, то нетрудно убедиться в том, что
Теперь мы хотим рассмотреть состояния, полученные действием на ДДФ-
состояние |/> цепочки операторов L-n и К-т. Определим состояние
В (2.3.46) мы выбрали такой порядок операторов L-r, что г возрастает
слева направо. Этот выбор является произвольным, но важно придерживаться
некоторой договоренности, так как операторы L друг с другом не
коммутируют. По той же причине все операторы К были расположены правее
операторов L. Мы хотим теперь показать, что для любого Р эти состояния
являются линейно независимыми. Следуя современной трактовке, предложенной
Торном, рассмотрим скалярные произведения состояний с данным значением Р:
Кт К ' &т
(2.3.43)
[Кт, Ln] = mKm+n, [Кт, Кп\ = 0.
Предыдущая << 1 .. 44 45 46 47 48 49 < 50 > 51 52 53 54 55 56 .. 212 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed