Теория суперструн. Том 1 - Грин М.
Скачать (прямая ссылка):
Вычисление Ат производится следующим образом. Используя коммутационные
соотношения
[х~, 1/р+] = i (р+)~2 (2.3.25)
и определяя Е' = р+Е'~ так, что
[х!, Е'] = -1ЕЦ, (2.3.26)
получим
/7'-] = - (р+)-2Сг/, (2.3.27)
где
С11' = 2ip+a-Eu - [Е\ Е1] - iElp< + Шр1. (2.3.28)
Сравнивая теперь полученные соотношения с (2.3.24), мы видим, что
коэффициенты Аш можно найти, если вычислить матричные элементы Си, так
как
<0 | a^C'V-n, | 0) = rn {bik&n - 6;'V) Дт- (2.3.29)
Воспользовавшись коммутационными соотношениями для осцилляторов
К> ai] = К- an]=matm+n/P+> (2-3.30)
найдем, что
2. Свободные бозонные струны
Теперь с помощью соотношения
(.Р+? (О Ia~azm I 0) = D^- (m3 - m) + 2am, (2.3.32)
¦ следующего из (2.3.14), и тождеств
ТП
р+{0 |аm -^-а-пап-т'Ц 0) = р!р1 + 6llm(m - 1)/2, (2.3.33)
/1 = 1
m m
¦ (0 | ^ - ат_"а" ^ - aLpa,p-m I 0) (г <-"¦ /) =
л=1 р=1
= (т - 1) (б"б/й - 6/г6^) (2.3.34)
получаем, что
i"=m(^)+i(^ + 2(I-")). (2.3.35)
Требование Дт = 0, как и ожидалось, приводит к тому, что D = 26, а а = 1.
2.5.2. Построение поперечных физических состояний
На классическом уровне связь между ковариантной формулировкой и
формулировкой в калибровке светового конуса совершенно ясна, калибровка
светового конуса возникает при бо--лее полной спецификации конформной
калибровки. На квантовом уровне связь между этими двумя формулировками
совсем не очевидна, и нашей следующей задачей будет как раз прояснение
этого вопроса.
Вернемся опять к ковариантному квантованию, изложенному в разд. 2.2. Там
были сформулированы условия Вирасоро, которым должны подчиняться
физические состояния, но мы не смогли тогда привести общее описание этих
состояний. Теперь наша задача - заполнить этот пробел и явным образом
построить все физические возбужденные состояния. Помимо всего прочего,
это позволит нам установить связь с калибровкой светового конуса и (так
как такой формализм не содержит духов) доказать теорему об отсутствии
духов для ковариантного формализма.
Подход, которому мы будем следовать, был впервые сформулирован Дель
Гьюдаисом, Ди Веккия и Фубини (ДДФ). Они построили набор операторов,
которые коммутируют с операторами Вирасоро и которые, действуя
последовательно на основное состояние, порождают все физические
возбужденные состояния. Эти операторы образуют замкнутую алгебру,
называемую ч<алгеброй, порождающей спектр". В конструкции ДДФ, кото-
2.3. Квантование в калибровке светового конуса
12?'
рая описывается ниже, вводятся "операторы, порождающие спектр" А1п, где
индекс i принимает D - 2 значения в соответствии с количеством поперечных
компонент вектора в простран* стве-времени, а п - произвольное целое
число. Эти операторы, находятся во взаимно однозначном соответствии с
поперечными компонентами вектора и описывают поперечные моды струны.
Условия Вирасоро налагают одно ограничение для каждого значения п,
поэтому можно предположить, что алгебра, порождающая спектр, содержит D-1
оператор для каждого значения п. Отсутствующие в этой алгебре продольные
операторы Ап также появляются в теории и будут описаны в следующем
подразделе.
Пусть 10; ро> обозначает основное тахионное состояние спектра бозонной
открытой струны. Возьмем а - 1, так что в этом состоянии = 2. Допустим,
что тахион находится в некотором состоянии движения, описываемом
импульсом с р+ = 1, р- = = - 1 и Ро = 0. Такой выбор удовлетворяет
условию нахождения на массовой поверхности ро = 2. Введем нуль-вектор ko
с компонентами ko = - 1 и fe(f = feo = 0. Таким образом, k0-р0= 1. Нам
будет удобно исследовать только состояния, обладающие тем свойством, что
если масса удовлетворяет уравнению а'М2 =
- N-1, то импульс состояния должен быть равным р^ = ро-
- Nko. Такие состояния мы будем называть "допустимыми" состояниями.
Любое физическое состояние может быть преобразованиями Лоренца превращено
в конфигурацию с вышеуказанным свойством, так что если мы как следует
разберемся с "допустимыми" состояниями, то хорошо поймем и ситуацию-с
физическими состояниями, в которых р1 = 0 и р+= 1. Все остальные
состояния можно получить преобразованием Лоренца.
Безмассовый вершинный оператор V\(k, т), определенный* в (2.2.65), играет
основную роль при построении алгебры, порождающей спектр. Он является
периодической функцией от т с периодом 2it, за исключением множителя
exp(ik'px), возникающего из-за члена р^т в разложении координаты Х^(0,
т). Если рассматривать вершинный оператор, соответствующий безмассовой
векторной частице, только с к? = пко, где п - целое, то при его- действии
на "допустимые" состояния получается, что k-p является целым числом и
множитель exp(ik-px) также является периодическим по т. В этом случае
вершинный оператор, соответствующий поперечной поляризации, имеет вид
У*(пк0, %) = Xl(x)etnX+w.
(2.3.36)"
122
2. Свободные бозонные струны
Так как этот оператор периодичен в "допустимом" подпространстве, можно
однозначно определить фурье-компоненты
2Л
Л'п = ~к S V' (nk°' т> dx' (2.3.37)
