Теория суперструн. Том 1 - Грин М.
Скачать (прямая ссылка):
значит, что [ТцДг] принадлежит этой алгебре. Это безусловно верно просто
потому, что X порождают представление нашей группы симметрии. Напротив,
условия, возникающие при Р > 2, нетривиальны и существенно ограничивают
возможности выбора групп и представлений, к которым могут принадлежать ^-
матрицы.
6.1.2. Допустимые калибровочные группы и представления
Нетрудно найти общее решение полученных выше условий. Обозначим через La
линейное пространство антиэрмитовых матриц Xi, замкнутое относительно
операции взятия коммутатора, что мы будем символически записывать как
[>", А.] = X. Кроме того, беря антикоммутаторы, мы можем получить
эрмитовы матрицы ц, {А.Д}=ц; такие матрицы описывают возможные квантовые
числа нечетных массовых уровней. Более того, буквально повторяя
приведенные выше рассуждения, можно убедиться, что множество всех
возможных матриц ц описывается формулой
[1 = Х^Хо ... Хр (- 1) Хр ... Х2Х\. (6.1.13)
Это множество образует линейное пространство Lh, замкнутое относительно
операции антикоммутирования: {ц, |л,}=ц.
Рассмотрим теперь пространство L, образованное всеми матрицами р, которые
представимы как вещественные линейные комбинации элементов из La и Lh,
иными словами, пространство матриц вида р = a\i-\- ЬХ с вещественными
коэффициентами а и Ь. Приведенные выше условия выполняются тогда и только
тогда, когда пространство L замкнуто относительно умножения, т. е. pip2 е
L для всех рь р2е1. Таким образом, не только La должно быть алгеброй Ли,
но и I обязано быть некоторой алгеброй. Если алгебра L задана, то легко
восстановить La и L& как ее эрмитову и антиэрмитову части. Итак, вопрос
сводится к тому, какие L допустимы и к каким алгебрам Ли они приводят.
Общее решение этой задачи дается теоремой Веддер-бёрна, однако, прежде
чем ее формулировать, рассмотрим, к чему приводит аналогичная теорема в
варианте с комплексными коэффициентами. В этом случае теорема утверждает,
что
334
6. Неабелева калибровочная симметрия
единственными неприводимыми комплексными алгебрами, замкнутыми
относительно умножения, являются матричные алгебры групп GL(n,C). Этот
результат становится существенным, если в исходной алгебре содержится г'
= У-1. В этом случае анти-эрмитовы матрицы % генерируют алгебру Ли группы
U(n). Важно подчеркнуть, что для справедливости теоремы требуется вся
U(п) целиком, включая фактор U{ 1), а не только SU(n).
Если в исходной алгебре i не содержится, то она должна совпадать с
вещественной формой GL(n, С). Из той же теоремы Веддербёрна (и из
анализа, проведенного применительно к теории струн Маркусом и Сагнотти)
мы знаем, что существуют только две такие вещественные формы, при которых
Lh оказываются алгебрами Ли. Первая - это GL(n,R), ее антиэрмитова часть
дает SO(n) в качестве алгебры La- Вторая вещественная форма - это U* (2л)
(вещественная версия U(2n), которая оказывается некомпактной), и ее
антиэрмитова часть дает соответственно USp(2n) (алгебру матриц размера
п\п с кватернион-ными коэффициентами). В итоге все возможные решения
сводятся к (п X п)-матрицам с вещественными, комплексными или
кватернионными элементами. Очевидно, что в каждом из этих случаев мы
получаем алгебру матриц, замкнутую относительно умножения.
Из всего этого анализа следует, что метод Чана - Патона охватывает только
классические алгебры Ли. Ввести с его помощью исключительные алгебры,
такие как Е8, не представляется возможным. Более того, во всех случаях
приходится ограничиваться фундаментальным представлением. Это
представление вещественно для SO(ri), псевдовещественно для USp(2ti) и
комплексно для U(n). Таким образом мы получаем неориентированные струны в
двух первых случаях и ориентированные струны - во втором.
Существуют, однако, простые аргументы, показывающие, что для суперструн
выбор группы U(п) ведет к противоречиям на однопетлевом уровне
(собственно анализ диаграмм будет проведен в дальнейшем). Некоторые
непланарные однопетлевые диаграммы описывают переходы, при которых концы
открытой струны смыкаются и она переходит в замкнутую, о чем уже
говорилось в разд. 1.5.6. Поскольку струна с группой U (п) ориентирована,
то и возникающая замкнутая струна будет ориентированной. Но, как было
показано в разд. 5.3.2, ориентированная замкнутая суперструна обладает (N
= 2) -суперсимметрией (неориентированная - только JV = 1). Таким образом,
в частности, появляется мультиплет супергравитации. Что же касается
состояний открытой струны, то они содержат исключительно (N = 1)-
супермультиплеты. Однако известно, что после-
6.2. Алгебра токов
335
довательно ввести взаимодействие {N = 2) -супергравитации с (N = 1)-
материей невозможно; следовательно, теория с группой U (п) будет
аномальной. Эти рассуждения оставляют нам в качестве допустимых групп
любую из SO(") или USp(2n), но в дальнейшем, привлекая более тонкие
аргументы, мы обнаружим, что приемлема лишь группа 50(32).
Интересно отметить, что возможны ситуации, когда калибровочные группы
