Теория суперструн. Том 1 - Грин М.
Скачать (прямая ссылка):
надо принимать на веру, но на сегодняшний день никакой другой более или
менее последовательной схемы найти не удалось.
Все полюсы примитивной амплитуды Л (1, ..., М) лежат в каналах,
отвечающих заданной циклической последовательности внешних линий, а
вычеты в этих полюсах обладают некоторыми довольно простыми свойствами
факторизации.. А именно, в пределе s -т2 можно символически записать
Л (1, ..., Л 0, 2, ..., Р, Х)А(Х, Р+ 1........М),
(6.1.6)-
где s=-(k\ + k2 + ... +ftp)2, a X пробегает множество всех состояний
спектра с заданной массой пг, как это изображено на рис. 6.2, а. Пока что
не проводилось доказательства такого поведения, но мы займемся этим в
следующей главе. Однако свойство факторизации (6.1.6) представляет собой
условие унитарности и, следовательно, должно выполняться, если мы хотим
получить осмысленную теорию. Есл,и же теперь мы хотим доказать
унитарность в теории, включающей групповые факторы (естественно,
предполагая, что унитарность имела место-до их включения), то нам
необходимо показать что свойства"
6.1. Открытые струны
331
'факторизации (6.1.6) продолжает выполняться и с учетом Я-мат-риц. Именно
отсюда и получаются условия на матрицы Я.
В полной амплитуде Т( 1,2, ..., М) есть еще ряд членов, которые тоже дают
вклад типа (6.1.6) в вычет данного полюса X. Эти члены генерируются
примитивной амплитудой А(Р,Р -
- 1, ..., 1, Р + 1, ..., М), что представлено на рис. 6.2, Ь. Кроме
этого, можно взять все М линий в обратном порядке, и
а) 6)
Рис. 6.2. У примитивной амплитуды Д(1, ... ,Л1) есть полюс по
инвариантной переменной S = -(ki -j- fe -j- ... -j- kp)2, вычет в
котором представим
в виде произведения двух других примитивных амплитуд, как это
представлено на рис. а). Другая примитивная амплитуда, но
имеющая полюс с таким же вычетом, изображена на рис. b).
в итоге, используя (6.1.5), мы получаем для полной суммы вычетов полюса X
в выражении Т
*г(Я, ... KPlP + l ... Км) Л (1, ..., Р, X) А(Х, Р+ 1, ...,Л1) +
+ tr(AP ... К^Р+Х ... ХМ)А(Р, ..., 1,Х)А(Х,Р+1, ...,М) + + tr(X, ... 1РХМ
... KP+i)A( 1, ...,Р, Х)А(Х, М, ...,Р+1) + + tr(AP ... Я,Яд, ...
АР+1)Л(Р, .... 1 ,Х)А(Х, М, ...,Р+ 1).
(6.1.7)
.Для того чтобы сравнить друг с другом эти четыре слагаемых и вывести
какие-то ограничения матрицы Я, необходимо как-то связать возникающие Л-
факторы. А именно, мы примем правило, связывающее выражение вида А(\,2,
N) с тем, что получается при изменении порядка импульсов на обратный, т.
е. ~с A{N, ..., 2, 1). Оба они отвечают одной и той же мировой
поверхности, но просто рассматриваемой с разных сторон, и поэтому
результирующие амплитуды совпадают с точностью до -знака, зависящего от
выбора е в (6.1.4). Итак,
Л (1, ..., ЛО = П (е (-1)^0 Л (N, ..., 1), (6 Л .8)
t=i
332
6. Неабелева калибровочная симметрия
где Ni-квадрат массы /-й струны. Например, для N безмассовых векторных
частиц получаем фазу (-l),w.
Предположим теперь, что как всем М внешним линиям, так и промежуточному
полюсу X отвечают безмассовые векторные частицы. Тогда, поскольку
Л( 1, Р, X) = (-1)P+1 А {X, Р, ..., 1) (6.1.9)
и аналогично для других факторов, то сумму всех слагаемых в (6.1.7) можно
привести к выражению ¦
tr [(Я, ... Яр-(-1)РЯр ... Я,)Х .
X (Лр + i Я,и - ( 1) Хм ... Яр + 1)] X
хл(1, ..., р, *)Л(*. р+\, ..., м). (6.1.10)
Комбинацию, стоящую под знаком следа в этом выражении, надо теперь
разложить на два множителя, каждый из которых будет отвечать своему
фактору Л. Конкретно мы хотим записать
tr [(Я, ... Яр - (-1)РЯР ... Я,)Х
X (Яр + 1 ... Я^ - (-1) Я^ ... AP+i)] =
= ?Ч[(я, ... Яр-(-1)рЯр ... я,)я"]х
а
X tr [яа (Яр + 1 ... Ям ( 1) Ям ... Яр + [)]. (6.1.11)'
Это имеет место, если Яа образуют полную систему (пХя)-матриц с условием
нормировки tr (ЯаЯр) = 6ар. Однако если матрицы вида X = Xj ... ХР- (-
1)р^р ... образуют лишь, некоторое подпространство в пространстве всех
матриц размера п X п, то вопрос о выполнении (6.1.11) требует более
тонкого анализа. Например, если Яь ..., ХР- произвольные вещественные
антисимметричные матрицы (отвечающие генераторам группы SO(ti)), то и
рассматриваемые комбинации К будут антисимметричны, и соответственно
матрицы Ха тоже достаточно-брать антисимметричными.
Главное требование самосогласованности, вытекающее из условия
унитарности, заключается в том, что квантовые числа безмассовых векторных
частиц, отвечающих полюсам в амплитуде Т, должны соответствовать
присоединенному представлению той группы, которую мы ввели для внешних
частиц. И вообще всякое промежуточное состояние, отвечающее полюсу в Т,
должно по своим квантовым числам попадать в спектр внешних частиц.
Соответственно и каждый из двух факторов в формуле
6.1. Открытые струны
333
для вычета должен описывать амплитуду Т для соответствующей половины
разрезанной диаграммы.
Условие самосогласованности будет выполнено, если все матрицы вида
Я = Xj ... ХР- (-1)РАР ... Я| (6.1.12)
будут принадлежать к алгебре матриц X1. В частности, при Р = = 2 это
